Konstrukční úlohy


Příklad 9
Sestrojte čtyřúhelník PQRT, znáte-li délky jeho stran q a t a velikosti úhlů |RQP| = ω a |PTR| = τ a |PRQ| = ρ.
Řešení
Libovolně zvolíme úsečku QR, |QR| = q, k ní hledáme postupně body P, T.
Rozbor:
Konstrukci začneme trojúhelníkem PQR, který doplníme o bod T pomocí oblouku, jemuž přísluší úhel τ, nad úsečkou PR. Dodejme, že úlohu lze řešit bez použití oblouku. Po narýsování trojúhelníku PQR zjistíme velikost strany PR a tudíž můžeme jinde narýsovat trojúhelník PRT a k němu dohledávat bod Q.

Popis konstrukce:
1. QR; |QR| = q
2. RX; |QRX| = ρ
3. QY; |RQY| = ω
4. P; P RX QY
5. PZ; |RPZ| = τ (v příslušné polorovině)
6. u; P u, u PZ
7. S; S je střed PR
8. v; S v, v PR
9. So; So u v
10. o; o otevřený oblouk se středem So s krajními body P, R příslušný úhlu τ
11. k; k (P, t)
12. T; T k o
13. ABCD
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Poznámka:
Úhly v opačných polorovinách u konstrukce polopřímek RX, QY lze v appletu zapnout a vypnout pomocí zaškrtávacího pole označeného jako "opačné úhly".
Diskuze:
Trojúhelník PQR bude při korektním zadání existovat právě jeden (resp. právě dva při konstrukci úhlu i opačné polorovině). Počet řešení bude tedy záviset na počtu bodů náležících průniku oblouku a kružnice v bodě 12. Pokud použijeme druhý zmíněný postup, trojúhelník PRT vznikne pomocí úhlu τ a délek stran t a PR = q.sinω/sin(ρ + ω) (podle sinové věty). Tato konstrukce je již řešena v rámci trojúhelníků např. v příkladě 2.