Sinová věta

Důkaz: První rovnost (z níž se dá cyklicky odvodit i ta druhá) dokážeme pomocí výšky v_c. V případech, že jsou oba úhly (např. α, β) ostré, nebo že jeden z nich (např. β) je pravý, bude platit rovnost:

a.sinβ = v_c = b.sinα,

z nenulovosti délek stran plyne dělením délkami stran původní rovnost.

Pokud je jeden z úhlů (např. β) tupý, bude předchozí vzorec vypadat takto:

a.sin(π − β) = v_c = b.sinα,

což ale z vlastností funkce sinus vede k předchozímu případu.

Poslední rovnost

(*)

dokážeme postupně pro úhel γ ostrý, pravý a tupý. U všech případů využijeme trojúhelníky AS_oB, AS_oC, BS_oC, kde S_o je střed kružnice opsané. Tyto trojúhelníky jsou rovnoramenné a jejich vnitřní úhly při základnách označíme postupně δ, ε, φ.

Pokud je trojúhelník ABC ostroúhlý, je úhel γ ostrý a střed kružnice opsané je vnitřním bodem trojúhelníku. Z rovností

2(δ + ε + φ) = 180°, γ = ε + φ

plyne δ + γ = 90°. Z pravoúhlého trojúhelníku AS_cS_o odvodíme

c = 2r.cosδ = 2r.cos(90° − γ) = 2r.sinγ.

Jestliže je trojúhelník ABC pravoúhlý, dokážeme rovnost označenou (*) pro úhel γ. Kružnice opsaná bude mít střed ve středu strany c, z čehož dokážeme, že γ je úhel pravý. Podobně jako v předchozím případě se dostáváme k rovnostem

2(ε + φ) = 180°, γ = ε + φ,

z nichž odvodíme γ = 90°. Sinus pravého úhlu je roven jedné a současně platí c = 2r.

V případě, kdy je trojúhelník ABC tupoúhlý, provedeme důkaz pro úhel γ tupý. Stejným postupem jako pro jiné typy úhlů odvodíme rovnosti

2(ε + φ − δ) = 180°, γ = ε + φ.

Nyní se dostaneme k rovnosti γ − δ = 90° a opět odvozujeme z pravoúhlého trojúhelníku AS_cS_o.

c = 2r.cosδ = 2r.cos(γ − 90°) = 2r.cos(90° − γ) = 2r.sinγ

Tímto jsme dokázali rovnost označenou jako (*) pro ostrý úhel v ostroúhlém trojúhelníku, pravý úhel v trojúhelníku pravoúhlém a v tupoúhlém trojúhelníku pro úhel tupý. Rovnost (*) pro ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku, resp. v tupoúhlém trojúhelníku, dokazovat nepotřebujeme. Pokud pravý, resp. tupý, bude úhel β a ne úhel γ, dostaneme se k právě dokázané rovnosti sinβ/b = 1/2r. Již dokázaná první část vzorce sinové věty ale říká, že sinβ/b = sinγ/c, a tedy se rovnají i pravé strany těchto rovností, a je tedy dokázána i rovnost (*).