Konstrukční úlohy

Úvod do konstrukčních úloh

Konstrukční úloha je příklad, jehož řešením je geometrický útvar se zadanými vlastnostmi sestrojený pomocí pravítka, kružítka a případně i úhloměru. Při řešení těchto úloh se využívá jak množin bodů dané vlastnosti a množinových operací, tak geometrických vět. Obecně dělíme konstrukční úlohy na polohové, kde je alespoň jeden z prvků útvaru zadán svou polohou, a nepolohové, u kterých lze daný útvar sestrojit kdekoliv. Nepolohové úlohy se převádějí na polohové vhodným umístěním určujících prvků.

Příkladem nepolohové úlohy je sestrojit trojúhelník ABC o daných délkách stran a, b, c. Ekvivalentní polohová úloha je například najít třetí vrchol trojúhelníku, je-li dána strana AB. Zmíněnou nepolohovou úlohu na polohovou změníme, když v rovině pevně umístíme jednu ze stran trojúhelníku.

Správnými kroky řešení konstrukční úlohy jsou rozbor, popis konstrukce, konstrukce samotná a závěr, jehož součástí je u úloh s parametry diskuze. Rozborem se myslí nástin řešení, popis konstrukce je potom konkrétní zápis kroků, podle kterých se bude konstrukce provádět. Závěr a diskuze, popřípadě zkouška, nakonec ověří správnost konstrukce a v závislosti na zadání prověří počet řešení, přičemž uvažujeme všechna řešení v rovině.

Některé kroky při řešení konstrukčních úloh považujeme za základní a není nutné je tedy rozepisovat, např. vztyčení kolmice procházející daným bodem k dané přímce, sestrojení rovnoběžky procházející daným bodem k dané přímce nebo osy daného úhlu.

Práce s applety

Řešení následujících příkladů je doplněno o applety programu Geogebra, pomocí nichž lze měnit rozměry daných prvků a tedy i výsledné obrazce. S délkami stran nebo velikostmi úhlů lze interaktivně pracovat a výsledky se v závislosti na vložených hodnotách ihned přetvářejí. Na dolním okraji appletu je menu pro krokování konstrukce, pomocí něhož lze postupovat po jednotlivých krocích dopředu a dozadu. Tlačítko "Play" spustí konstrukci automaticky a kroky budou spuštěny samy ve zvoleném časovém intervalu. Tlačítko v pravém dolním rohu zobrazí popis konstrukce tak, jak je uveden v appletu.

Applety u příkladů na množiny bodů dané vlastnosti mají jiný vzhled. Protože jsou vstupními prvky body a přímky, zobrazené délky nelze měnit jinak než pohybem vstupních útvarů. Délky jsou pouze pomocné. Vzhledem k tomu, že součástí řešení nejsou popisy konstrukce, chybí u appletů dolní menu pro její krokování.

Ve všech appletech jsou hodnoty vstupních délek omezeny mezi 0,1 a 10 jednotek s přesností 0,1 jednotky. Velikosti vstupních úhlů jsou v rozmezí 1° až 179° s přesností na jeden stupeň, a to i pro konstrukční úlohy, v nichž by existovalo řešení pro nekonvexní úhel v zadání. Je to z důvodu větší přehlednosti v rámci appletu. Nekonvexní čtyřúhelníky, které se mohou objevit jako řešení při navolených vstupních hodnotách, naopak zobrazeny jsou. Součástí některých appletů je i zaškrtávací pole, pomocí kterého je možné zobrazit či zahalit některé předem zvolené útvary, například řešení v opačných polorovinách.