Konstrukční úlohy

Euklidova věta o výšce

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C se stranami a, b, c (a, b jsou odvěsny, c je přepona) platí:

vc2 = ca . cb,

kde ca, cb jsou délky úseků přepony rozdělené patou Pc výšky vc na stranu c.

Euklidova věta o odvěsně

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C se stranami a, b, c (a, b jsou odvěsny, c je přepona) platí:

a2 = c . ca,   b2 = c . cb,

kde ca, cb jsou délky úseků přepony rozdělené patou Pc výšky vc na stranu c.

Stejně jako Pythagorova věta jsou věty Euklidovy ekvivalencemi. Pokud pro nějaký trojúhelník jedna z vět platí, potom je jistě pravoúhlý.



Důkaz: Výška vc rozděluje ABC na dva trojúhelníky, jejichž vnitřní úhly mají stejnou velikost jako trojúhelník původní. A protože jsou také pravoúhlé, je možné z nich zjistit hodnoty goniometrických funkcí, které se budou rovnat. Dojdeme tedy k následujícím rovnostem:

z nichž už odvodíme původní vzorce.