Oblouky

Mějme otevřený kružnicový oblouk se středem S, poloměrem r a krajními body A, B. Úhel ASB se nazývá středový úhel, označme jej jako ω. V tomto případě budeme dbát na pořadí zmíněných bodů, úhel ω tedy může být i nekonvexní.
Libovolně si na oblouku zvolíme bod X. Úhel AXB, takzvaný obvodový úhel, označme jako α.

Středový a obvodový úhel, ω konvexní.	Středový a obvodový úhel, ω nekonvexní.

Na daný oblouk lze nahlížet i jako na množinu bodů jisté vlastnosti. Velikost obvodového úhlu α je stejná pro každý zvolený bod X na oblouku, tedy |AXB| = α. Množina všech bodů X, které mají tuto vlastnost, je tvořena sjednocením dvou otevřených oblouků vymezených body A, B. Tyto oblouky mají stejný poloměr a jsou osově souměrné podle přímky AB.

Množina bodů X, pro které platí |AXB| = α.	Množina bodů X, pro které platí |AXB| = β.

Velikost obvodového úhlu je polovina velikosti úhlu středového, tedy α = ω/2. Protože body A, B dělí původní kružnici na dva oblouky, menší a větší, je důležité si uvědomit, který z nich odpovídá kterému úhlu. Jestliže je středový úhel ω konvexní, příslušný oblouk bude oblouk větší a jemu odpovídající obvodový úhel α bude ostrý. Naopak, pokud je středový úhel nekonvexní, tupé obvodové úhly budou mít vrcholy na oblouku menším.
Pro případ, kdy je středový úhel přímý a tedy obloukový úhel pravý, jsou oba oblouky půlkružnicemi. Množina bodů X, pro které je úhel AXB pravý, má až na body A, B tvar kružnice a nazývá se Thaletova kružnice.

Vztah středového a obvodového úhlu a oblouku.	Thaletova kružnice nad úsečkou AB.

Při konstrukci oblouku nad úsečkou AB se používá úhel úsekový, jenž má velikost stejnou, jako budoucí příslušný úhel obvodový α. K úsečce AB narýsujeme polopřímku AY, která s ní bude svírat úsekový úhel α. K ní bodem A vztyčíme kolmici, jejímž průnikem s osou úsečky AB bude střed hledaného oblouku. Konstrukce Thaletovy kružnice a oblouku pro obecný obvodový úhel je podrobně rozvedena včetně appletu mezi příklady na kružnice.

Konstrukce oblouku nad úsečkou AB s použitím úsekového úhlu BAY.

Důkaz tohoto tvrzení, tedy že zkonstruovaný oblouk je skutečně množina odpovídajících bodů X, vyplyne ze sinové věty. Na jednom oblouku nad úsečkou AB libovolně zvolme dva body a příslušné obvodové úhly označme φ a ψ. Dokážeme, že se tyto úhly rovnají.

V trojúhelnících ABX₁, ABX₂ platí sinová věta, tedy

sinφ/|AB| = 1/2r, sinψ/|AB| = 1/2r

Protože mají oba trojúhelníky stejný poloměr kružnice opsané, můžeme odvodit

sinφ = sinψ

Vzhledem k tomu, že jsou oba úhly buď zároveň ostré, zároveň pravé, nebo zároveň tupé, můžeme prohlásit, že se rovnají.

Důkaz tohoto tvrzení provedeme pro úhel ostrý a tupý. Středový úhel u pravého úhlu je zřejmě přímý a ten má velikost dvojnásobnou oproti úhlu pravému; podrobněji je to rozvedeno v důkazu sinové věty.
Mějme oblouk nad úsečku AB odpovídající ostrému úhlu α. Na něm zvolme bod X tak, aby byl trojúhelník ABX ostroúhlý. Pomocí středu S oblouku rozdělíme trojúhelník ABX na tři rovnoramenné trojúhelníky ABS, AXS, BXS, jejichž vnitřní úhly u základen označíme postupně δ, ε, φ.

Z obrázku vyplývá

2(δ + ε + φ) = 180°, α = ε + φ.

Odtud plyne

δ + α = 90°.

Z pravoúhlého trojúhelníku BSS_AB získáme rovnost

δ + ω/2 = 90°.

Dosazením zjistíme, že α = ω/2.

V důkazu pro tupý úhel si označíme úhly stejně jako v předchozím případě.

Z tohoto obrázku plyne

2(ε + φ − δ) = 180°, α = ε + φ.

Odtud se dostaneme k rovnosti

α − δ = 90°

Z pravoúhlého trojúhelníku BSS_AB získáme rovnost

ω/2 − δ = 90°.

A znovu dosazením zjistíme, že α = ω/2