Konstrukční úlohy

Kosinová věta

Pro každý trojúhelník ABC se stranami a, b, c a vnitřním úhlem γ při vrcholu C platí:

c2 = a2 + b2 − 2ab.cosγ,

přičemž se dá věta cyklicky zaměnit i pro ostatní vnitřní úhly.

Důkaz: Pythagorova věta je speciálním případem kosinové věty pro úhel γ pravý. Je-li γ úhel ostrý, rozděluje pata Pb výšky vb stranu b na dvě úsečky bc, ba.


Pomocí úhlu γ a strany a můžeme vyjádřit vb, ba, z nich potom bc.

vb = a.sinγ
ba = a.cosγ
bc = bba = ba.cosγ

Pro c, bc, vb platí Pythagorova věta:

c2 = bc2 + vb2 = (ba.cosγ)2 + (a.sinγ)2 = b2 − 2ab.cosγ + a2cos2γ + a2sin2γ = a2 + b2 − 2ab.cosγ


V případě, že je úhel γ tupý, neleží Pb na straně b.


Potom vb = a.sin(πγ) = a.sinγ, ba = a.cos(πγ) = −a.cosγ, bc = b + ba = ba.cosγ, což odpovídá i vzorcům pro ostrý úhel γ.