ÚVODKosinová věta
Pro každý trojúhelník ABC se stranami a, b, c a vnitřním úhlem γ při vrcholu C platí:
c2 = a2 + b2 − 2ab.cosγ,
přičemž se dá věta cyklicky zaměnit i pro ostatní vnitřní úhly.
Důkaz: Pythagorova věta je speciálním případem kosinové věty pro úhel γ pravý. Je-li γ úhel ostrý, rozděluje pata Pb výšky vb stranu b na dvě úsečky bc, ba.
Pomocí úhlu γ a strany a můžeme vyjádřit vb, ba, z nich potom bc.
vb = a.sinγ
ba = a.cosγ
bc = b − ba = b − a.cosγ
c2 = bc2 + vb2 = (b − a.cosγ)2 + (a.sinγ)2 = b2 − 2ab.cosγ + a2cos2γ + a2sin2γ = a2 + b2 − 2ab.cosγ
V případě, že je úhel γ tupý, neleží Pb na straně b.
Potom vb = a.sin(π − γ) = a.sinγ, ba = a.cos(π − γ) = −a.cosγ, bc = b + ba = b − a.cosγ, což odpovídá i vzorcům pro ostrý úhel γ.