Konstrukční úlohy

Příklady množin bodů dané vlastnosti

Osa úsečky

Osa úsečky AB, jak jsme si ji již definovali v kapitole o opsané kružnici, je množina bodů X v rovině, které mají od bodu A a od bodu B stejnou vzdálenost. Při rýsování se vychází z faktu, že střed úsečky AB do této množiny patří. Další body X této množiny jsou vrcholy rovnoramenných trojúhelníků ABX, které jsou osově souměrné podle osy základny, proto je množina kolmicí na úsečku AB.

Současně můžeme k ose úsečky přistupovat jako k množině všech středů X kružnic v rovině, které body A a B procházejí. Protože je potom |AX| rovno |BX|, je tato vzdálenost současně poloměrem příslušné kružnice se středem X.

Osa úsečky AB je množina M bodů X roviny ρ takových, že
Osa úsečky AB.Body S, X1, X2 se stejnou
vzdáleností od bodů A, B.
Středy S, X1, X2 kružnic,
na nichž leží A i B.

Ekvidistanta přímky

Množina všech bodů v rovině, které mají od dané přímky p stejnou vzdálenost, se nazývá ekvidistanta přímky p. Jedná se o sjednocení dvou přímek, jež jsou s přímkou p rovnoběžné. Pro narýsování stačí pro každou z dvou přímek narýsovat jeden konkrétní bod, který na ni leží, a jím vést rovnoběžku. Vzdálenost bodu od přímky jsme si definovali už u kružnice vepsané.

Jinou možností, jak ekvidistantu o vzdálenosti v definovat, je množina středů všech kružnic o poloměru v, které se přímky p dotýkají (přímka p je jejich tečnou).

Ekvidistanta přímky p je pro konkrétní kladné číslo v, v > 0, množina M všech bodů X v rovině ρ takových, že
Ekvidistanta přímky p.Body X1, X2
se vzdáleností vod přímky p.
Středy X1, X2 kružnic
o poloměru v,
pro něž je p tečnou.

Osa úhlu

Osu úhlu jsme již uváděli v kapitole o vepsané kružnici, a to jako polopřímku, která úhel rozděluje na dva úhly stejné velikosti. Zde jen připomeneme, že pro definice pomocí vzdáleností je nutné, aby byl daný úhel konvexní. To nebylo důležité u trojúhelníků, neboť vnitřní úhly trojúhelníku jsou konvexní vždy.

Osa konvexního úhlu AVB je množina M všech bodů X v rovině ρ takových, že
Osa úhlu BVA.Body X1, X2 se stejnou
vzdáleností od polopřímek
VA a VB.
Středy X1, X2 kružnic,
pro něž jsou VA a VB tečnami.
Množinu lze zobecnit na případ úhlu vymezeného dvěma různoběžnými přímkami p, q (tedy ne pouze polopřímkami), které se protínají v bodě P. Body, které budou od obou přímek vzdáleny stejně, budou tvořit množinu složenou ze dvou na sebe kolmých přímek. Z hlediska předchozího zavední pojmu vymezují přímky p, q čtyři konvexní úhly, jejichž osy po sjednocení tvoří hledanou množinu.
Osa úhlů vymezených různoběžnými přímkami p, q s průsečíkem P je množina M bodů X v rovině ρ takových, že
Osy úhlů vymezených
přímkami p, q.
Body X1, X2 se stejnou
vzdáleností od přímek p a q.
Středy X1, X2 kružnic,
pro něž jsou p a q tečny.

Osa pásu

I pro rovnoběžné přímky existuje množina bodů, které jsou od nich stejně vzdáleny. Takovou množinou je přímka, takzvaná osa pásu, která je s oběma rovnoběžná a leží "mezi nimi".

Osa pásu rovnoběžných přímek p, q je množina M bodů X v rovině ρ takových, že
Osa pásu rovnoběžek p, q.Body X1, X2 se stejnou
vzdáleností od rovnoběžek p, q.
Středy X1, X2 kružnic,
pro něž jsou p a q tečny.