Konstrukční úlohy - Přímky a osy

Příklady množin bodů dané vlastnosti

Osa úsečky

Osa úsečky AB, jak jsme si ji již definovali v kapitole o opsané kružnici, je množina bodů X v rovině, které mají od bodu A a od bodu B stejnou vzdálenost. Při rýsování se vychází z faktu, že střed úsečky AB do této množiny patří. Další body X této množiny jsou vrcholy rovnoramenných trojúhelníků ABX, které jsou osově souměrné podle osy základny, proto je množina kolmicí na úsečku AB.

Současně můžeme k ose úsečky přistupovat jako k množině všech středů X kružnic v rovině, které body A a B procházejí. Protože je potom |AX| rovno |BX|, je tato vzdálenost současně poloměrem příslušné kružnice se středem X.

Osa úsečky AB je množina M bodů X roviny ρ takových, že

vzdálenosti |AX| a |BX| se rovnají,
M = {Xρ; |AX| = |BX|};
X je středem kružnice, na níž leží body A a B.


Osa úsečky AB.	Body S, X₁, X₂ se stejnou vzdáleností od bodů A, B.	Středy S, X₁, X₂ kružnic, na nichž leží A i B.

Ekvidistanta přímky

Množina všech bodů v rovině, které mají od dané přímky p stejnou vzdálenost, se nazývá ekvidistanta přímky p. Jedná se o sjednocení dvou přímek, jež jsou s přímkou p rovnoběžné. Pro narýsování stačí pro každou z dvou přímek narýsovat jeden konkrétní bod, který na ni leží, a jím vést rovnoběžku. Vzdálenost bodu od přímky jsme si definovali už u kružnice vepsané.

Jinou možností, jak ekvidistantu o vzdálenosti v definovat, je množina středů všech kružnic o poloměru v, které se přímky p dotýkají (přímka p je jejich tečnou).

Ekvidistanta přímky p je pro konkrétní kladné číslo v, v > 0, množina M všech bodů X v rovině ρ takových, že

vzdálenost bodu X od přímky p je rovna v,
M = {Xρ; d(X, p) = v},
X je středem kružnice o poloměru v, pro niž je přímka p tečnou.


Ekvidistanta přímky p.	Body X₁, X₂ se vzdáleností vod přímky p.	Středy X₁, X₂ kružnic o poloměru v, pro něž je p tečnou.

Osa úhlu

Osu úhlu jsme již uváděli v kapitole o vepsané kružnici, a to jako polopřímku, která úhel rozděluje na dva úhly stejné velikosti. Zde jen připomeneme, že pro definice pomocí vzdáleností je nutné, aby byl daný úhel konvexní. To nebylo důležité u trojúhelníků, neboť vnitřní úhly trojúhelníku jsou konvexní vždy.

Osa konvexního úhlu AVB je množina M všech bodů X v rovině ρ takových, že

X je od polopřímek VA a VB stejně vzdálen,
M = {XAVB; d(X, VA) = d(X, VB)},
X je buď bodem V, nebo středem kružnice, pro niž jsou polopřímky VA a VB tečnami.


Osa úhlu BVA.	Body X₁, X₂ se stejnou vzdáleností od polopřímek VA a VB.	Středy X₁, X₂ kružnic, pro něž jsou VA a VB tečnami.

Množinu lze zobecnit na případ úhlu vymezeného dvěma různoběžnými přímkami p, q (tedy ne pouze polopřímkami), které se protínají v bodě P. Body, které budou od obou přímek vzdáleny stejně, budou tvořit množinu složenou ze dvou na sebe kolmých přímek. Z hlediska předchozího zavední pojmu vymezují přímky p, q čtyři konvexní úhly, jejichž osy po sjednocení tvoří hledanou množinu.

Osa úhlů vymezených různoběžnými přímkami p, q s průsečíkem P je množina M bodů X v rovině ρ takových, že

X je od přímek p a q stejně vzdálen,
M = {Xρ; d(X, p) = d(X, q)},
X je buď bodem P, nebo je středem kružnice, pro niž jsou přímky p a q tečnami.


Osy úhlů vymezených přímkami p, q.	Body X₁, X₂ se stejnou vzdáleností od přímek p a q.	Středy X₁, X₂ kružnic, pro něž jsou p a q tečny.

Osa pásu

I pro rovnoběžné přímky existuje množina bodů, které jsou od nich stejně vzdáleny. Takovou množinou je přímka, takzvaná osa pásu, která je s oběma rovnoběžná a leží "mezi nimi".

Osa pásu rovnoběžných přímek p, q je množina M bodů X v rovině ρ takových, že

X je od přímek p a q stejně vzdálen,
M = {Xρ; d(X, p) = d(X, q)},
X je středem kružnice, pro niž jsou přímky p a q tečnami.


Osa pásu rovnoběžek p, q.	Body X₁, X₂ se stejnou vzdáleností od rovnoběžek p, q.	Středy X₁, X₂ kružnic, pro něž jsou p a q tečny.