Pravidelný mnohoúhelník

Pravidelný mnohoúhelník

Mnohoúhelník o n, n ≥ 3, vrcholech, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly o stejné velikosti, se nazývá pravidelný. Pro n = 3 se jedná o rovnostranný trojúhelník, pro n = 4 je to čtverec. Protože je součet velikostí vnitřních úhlů v pravidelném mnohoúhelníku roven (n-2).180º, připadá na každý z nich velikost 180º.(n-2)/n.

Analogicky jako u trojúhelníků lze definovat opsanou a vepsanou kružnici i u konvexních mnohoúhelníků. Tyto kružnice ale neexistují pro všechny mnohoúhelníky, pouze pro některé. Kružnice opsaná je kružnicí, na níž leží všechny vrcholy mnohoúhelníku, kružnice vepsaná je kružnice, která se dotýká všech stran mnohoúhelníku. Pravidelné mnohoúhelníky obě tyto kružnice mají, jejich středy jsou dokonce v tomtéž bodě. Pro konkrétní n-úhelník se stranou délky a lze spočíst poloměr kružnice vepsané r a poloměr kružnice opsané R, a to pomocí rozdělení mnohoúhelníku na n shodných rovnoramenných trojúhelníků, jež mají společný vrchol, který je současně středem kružnic.

Tedy R = a/2 .cosα a r = a/2 .tgα, kde α je polovina velikosti vnitřního úhlu, tedy α = 90º.(n-2)/n.

Pouze některé pravidelné n-úhelníky je možné narýsovat pomocí pravítka a kružítka. Taková čísla n souvisí s takzvanými Fermatovy prvočísly. První nenarýsovatelný pravidelný mnohoúhelník je sedmiúhelník.