Příklad 12
Sestrojte ABC, znáte-li délky výšek v_a, v_b a v_c.

Řešení
Příklad vyřešíme dvěma způsoby. První je typický středoškolský postup, kdy sestrojíme trojúhelník se stranami délky zvolených výšek, v něm vyznačíme výšky a z nich opět sestrojíme trojúhelník, který bude podobný výslednému. Tento postup má však svoje nedostatky. Pro některé vstupní hodnoty, které odpovídají skutečnému trojúhelníku, řešení nenajde; vstupní délky výšek totiž musí navíc splňovat samy trojúhelníkvou nerovnost.
Rozbor 1:
Obsah trojúhelníku je součin délky libovolné strany a délky výšky na tutéž stranu dělený dvěma. Tento součin je nezávislý na volbě strany.

2S = a.v_a = b.v_b = c.v_c

Z tohoto vzorce můžeme odvodit poměr stran z délek výšek.

A stejně tak i poměr výšek z velikostí stran.

Pokud tedy sestrojíme trojúhelník PQR se stranami délek v_a, v_b a v_c, budou mít výšky v tomto trojúhelníku stejný poměr jako strany v původně hledaném trojúhelníku ABC.

Popis konstrukce 1:
1. PQ; |PQ| = v_c
2. k_q; k_q (P, v_b)
3. k_p; k_p (Q, v_a)
4. R; R  k_p  k_q
5. PQR
6. c'; c' výška trojúhelníku PQR na stranu PQ
7. b'; b' výška trojúhelníku PQR na stranu PR
8. a'; a' výška trojúhelníku PQR na stranu RQ
9. AB'; |AB'| = c'
10. k_b; k_b (A, b')
11. k_a; k_a (B', a')
12. C'; C'  k_a  k_b
13. p; p || AB', d(A, p) = v_c
14. AC'
15. C; C  p  AC'
16. B'C'
17. w; C  w, w || B'C'
18. B; B  w  AB'
19. ABC
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Diskuze 1:
Existenci trojúhelníku ABC zaručuje existence trojúhelníku PQR, tedy řešení vzniknou, pokud pro vstupní délky výšek a současně jejich převrácené hodnoty bude platit trojúhelníková nerovnost.

|vb - vc| < va < vb + vc |1/vb - 1/vc| < 1/va < 1/vb + 1/vc	2 řešení, navzájem shodná
|vb - vc| ≥ va   v   va ≥ vb + vc v   |1/vb - 1/vc| ≥ 1/va   v   1/va ≥ 1/vb + 1/vc	0 řešení

Rozbor 2:
Druhým postupem rovnou narýsujeme převrácené hodnoty délek výšek pomocí čtvrté geometrické úměrné. Převrácené hodnoty ve stejném poměru jako strany budoucího výsledného trojúhelníku. Protože hledáme poměr výsledných stran, není nutné rýsovat přímo délky 1/v_a, 1/v_b, 1/v_c, můžeme narýsovat jejich násobky, tedy konkrétně |KL|.|KM|/v_a, |KL|.|KM|/v_b, |KL|.|KM|/v_c.

Popis konstrukce 2:
1. KL
2. P; P  KL, |KP| = v_a
3. Q; Q  KL, |KP| = v_b
4. R; R  KL, |KP| = v_c
5. KM, 180° > |LKM| > 0°
6. p; p = MP
7. p'; L  p', p' || p
8. P'; P'  p'  KM
9. q; q = MQ
10. q'; L  q', q' || q
11. Q'; Q'  q'  KM
12. r; r = MR
13. r'; L  r', r' || r
14. R'; R'  r'  KM
15. AB'; |AB'| = |KR'|
16. k_b; k_b (A, |KQ'|)
17. k_a; k_a (B, |KP'|)
18. C'; C'  k_b  k_a
19. w; w || AB', d(A, w) = v_c
20. AC'
21. C; C  w  AC'
22. B'C'
23. s; C  s, s || B'C'
24. B; B  s  AB'
25. ABC
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Diskuze 2:
Při tomto postupu není nutné, aby délky výšek splňovaly trojúhelníkovou nerovnost. Platit ale musí pro jejich převrácené hodnoty.

|1/vb - 1/vc| < 1/va < 1/vb + 1/vc	2 řešení, navzájem shodná
|1/vb - 1/vc| ≥ 1/va   v   1/va ≥ 1/vb + 1/vc	0 řešení