Exponenciální nerovnice - úlohy

Řešte nerovnici s neznámou x \in R:

0,2^{\frac{2x-3}{2-x}}\leq 5

Řešení

• Definiční obor nerovnice D=R-\{2\}.
• Převedeme výraz na levé i pravé straně nerovnice na mocninu se základem \frac{1}{5}.
• Nerovnici vyřešíme porovnáním exponentů. Protože je základ mocniny menší než jedna, otáčíme znak nerovnosti.
• Po úpravě získáme nerovnici \frac{x-1}{2-x}\geq 0, kterou řešíme s pomocí číselné osy.
• Množina všech kořenů K= < 1,2).
• Zápis řešení:
  

Řešte nerovnici s neznámou x \in R:

3^{x-2} > 6^{x-1}

Řešení

• Definiční obor nerovnice D=R.
• Logaritmujeme nerovnici logaritmem o základu 3. Protože je základ logaritmu větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti.
  
• Z lineární nerovnice (x-2)\log_3 3 > (x+1)\log_3 6
  vyjádříme neznámou x.
• Množina všech kořenů K=(-\infty,\frac{\log_3 6 +2}{1-\log_3 6}).
• Zápis řešení:
  

Řešte nerovnici s neznámou x \in R:

16^{x}- 9 \cdot 4^x + 20 < 0

Řešení

• Definiční obor nerovnice D=R.
• Zavedeme substituci 4^x=a:
  a^2-9a+20<0.
• Řešením této nerovnice je interval (4,5):
  a>4~ a zároveň a<5.
• Zpětně nahradíme neznámou a výrazem 4^x a nerovnice vyřešíme.
• Množina všech kořenů K=(1,\log_4 5).
• Zápis řešení: