Funkce - opakování

Jistě jste při řešení rovnic využívali znalost grafů různých funkcí. K řešení kvadratických rovnic a nerovnic jste využívali graf kvadratické funkce, při řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou jste využívali graf funkce s absolutní hodnotou. Při řešení logartimických a exponenciálních rovnic budeme zase využívat graf a vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce.

Nejprve si připomeneme základní pojmy a vlastnosti funkcí, které budeme využívat. Pokud nebudete mít v těchto pojmech jasno, využijte webovou aplikaci věnovanou výuce funkcí na střední škole. V dalších dvou kapitolách se podrobněji podíváme na exponenciální a logaritmickou funkci.

Definice funkce
Funkce f na množině D(f) \subset R je předpis, který každému reálnému číslu z množiny D(f) přiřadí právě jedno reálné číslo.
Množinu D(f) nazýváme definiční obor funkce f.
Prvek x z množiny D(f) nazýváme argumentem funkce f.
Číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu x nazýváme funkční hodnota
a značíme ji f(x).
Množinu H(f), která obsahuje všechny funkční hodnoty, kterých funkce f nabývá, nazýváme obor hodnot funkce f.

Definici funkce si můžete podrobněji zopakovat na stránkách věnovaným funkcím. Následující vlastnosti funkcí jsou vztaženy k celému definičnímu oboru funkce.

NAHORU
Prostá funkce
Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x_1, x_2 \in D(f) platí:
Je-li x_1\neq x_2, pak f(x_1)\neq f(x_2).

Více se o prosté funkci můžete dozvědět na stránkách věnovaným výuce funkcí.

Následující tvrzení nám poskytne silný nástroj při řešení rovnic.

Je-li funkce f prostá a x_1,x_2 \in D(f), potom platí:
f(x_1)=f(x_2)~\Leftrightarrow~x_1=x_2.

Zjednodušeně si můžeme pamatovat:

Rovnají-li se funkční hodnoty prosté funkce, rovnají se i její argumenty.
Rovnají-li se argumenty prosté funkce, rovnají se i její funkční hodnoty.

Využití tohoto tvrzení ukážeme na konkrétním příkladu:

Příklad 3.1
Vyřešte rovnici s neznámou x \in R:

\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2x+3}

Řešení
Při řešení se pokusíme využít skutečnosti, že f(x)=\frac{1}{x} je prostá funkce.
  • Nejprve určíme definiční obor rovnice: D=R-\{2,-\frac{3}{2}\}
  • Levá strana rovnice odpovídá zápisu funkce f(x-2)=\frac{1}{x-2}. Kde \frac{1}{x-2}
    je funkční hodnota pro argument x-2.
  • Pravá strana rovnice odpovídá zápisu funkce f(2x+3)=\frac{1}{2x+3}. Kde \frac{1}{2x+3}
    je funkční hodnota pro argument 2x+3.
  • Nyní využijeme skutečnosti, že f(x)=\frac{1}{x} je prostá funkce. Rovnají-li se její funkční hodnoty, musí se dle tvrzení rovnat i její argumenty: f(x_1)=f(x_2)~\Leftrightarrow~x_1=x_2.
  • Porovnáním argumentů těchto funkcí získáme rovnici x-2=2x-3.
  • Řešením této rovnice je číslo x=-5, které patří do definičního oboru rovnice. K=\{-5\} je tedy množina všech kořenů rovnice.

Zápis řešení:

NAHORU
Inverzní funkce
Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f^{-1}, pro kterou platí:
  • D(f^{-1})=H(f) a zároveň
  • každému y \in D(f^{-1}) je přiřazeno právě to x \in D(f), pro které je
    f(x)=y.

Více se o inverzní funkci a jejím grafu můžete dozvědět na stránkách
o inverzních funkcích.

Příklad 3.2
Určete inverzní funkci k funkci:

y=\frac{2}{x-3}

Řešení
Funkce y=\frac{2}{x-3} je prostá na celém svém definičním oboru D=(-\infty,3)\cup(3,+\infty). Můžeme tedy hledat její inverzní funkci.
  • Ze vztahu y=\frac{2}{x-3} vyjádříme proměnnou x:
    x=\frac{2}{y}+3.
  • Zaměníme proměnné x a y:
    y=\frac{2}{x}+3.
  • Tím jsme získali předpis funkce, která je inverzní k původní funkci.
  • Funkce y=\frac{2}{x}+3 je inverzní k funkci y=\frac{2}{x-3}.

Zápis řešení:

Následující tvrzení budeme také využívat při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic.

Pro každé x \in D(f) platí:
f^{-1}(f(x))=x.

Uvedeme příklad, kde je toto tvrzení využito k řešení rovnice.

Příklad 3.3
Vyřešte rovnici s neznámou x \in R:

\sqrt[3]{7x-8}=x-2

Řešení
Využijeme skutečnosti, že inverzní funkce k f(x)=\sqrt[3]{x} je f^{-1}(x)=x^3.
  • Definičím oborem této rovnice jsou všechna reálná čísla: D=R
  • Levá strana rovnice odpovídá zápisu funkce f(7x-8)=\sqrt[3]{7x-8}, kde \sqrt[3]{7x-8} je funkční hodnota pro argument 7x-8.
  • Protože f^{-1}(x)=x^3 je prostá funkce, platí, že rovnají-li se její argumenty, rovnají se i její funkční hodnoty: (\sqrt[3]{7x-8})^3=(x-2)^3. (Umocnili jsme pravou i levou stranu rovnice na třetí.)
  • Levá strana rovnice má nyní tvar (\sqrt[3]{7x-8})^3. Dle tvrzení f^{-1}(f(x))=x je rovna argumentu funkce f, tedy výrazu 7x-8.
  • Získáme rovnici 7x-8=(x-2)^3, kterou vyřešíme.
  • Využijeme ekvivalentí úpravy a získáme rovnici x^3-6x^2+5x=0, kterou lze převést na součinový tvar x(x-5)(x-1)=0.
  • Množina všech kořenů rovnice K=\{0,1,5\}.

Zápis řešení:

NAHORU
Rostoucí a klesající funkce
Funkce f je rostoucí, právě když pro všechna x_1, x_2 \in D(f) platí:
Je-li x_1 < x_2, pak f(x_1) < f(x_2).
Funkce f je klesající, právě když pro všechna x_1, x_2 \in D(f) platí:
Je-li x_1 < x_2, pak f(x_1) > f(x_2).

Podrobně jsou rostoucí a klesající funkce vysvětleny na stránkách věnované výuce funkcí.

Jeli funkce rostoucí (respektive klesající), potom je prostá.

Rostoucí a klesající funkce jsou speciálním případem prostých funkcí. To znamená, že každá rostoucí i každá klesající funkce je prostá. Naopak neplatí, že každá prostá funkce musí být rostoucí nebo klesající.

Následující dvě tvrzení využijeme při řešení nerovnic.

Jeli funkce f rostoucí a x_1,x_2 \in D(f), potom
f(x_1) < f(x_2) ~\Leftrightarrow~ x_1 < x_2.
Jeli funkce f klesající a x_1,x_2 \in D(f), potom
f(x_1) < f(x_2) ~\Leftrightarrow~ x_1 > x_2.

Tato dvě tvzení si můžeme zapamatovat ve zjednodušené formulaci:

Nerovnost mezi argumenty rostoucí funkce je stejná jako u funkčních hodnot.
Nerovnost mezi argumenty klesající funkce je opačná než u funkčních hodnot.

Využití druhého tvrzení s klesající funkcí si ukážeme v následujícím příkladu. Podobně by se využilo první tvrzení v případě, že funkce je rostoucí.

Příklad 3.4
Vyřešte nerovnici s neznámou x \in R:

-x<-\sqrt{2}

Řešení
Při řešení využijeme skutečnost, že f(x)=-x je klesající funkce.
  • Definičím oborem této rovnice jsou všechna reálná čísla: D=R
  • Levá strana rovnice odpovídá zápisu funkce f(x)=-x, kde -x je funkční hodnota pro argument x.
  • Pravá strana rovnice odpovídá zápisu funkce f(\sqrt{2})=-\sqrt{2}, kde -\sqrt{2} je funkční hodnota pro argument \sqrt{2}.
  • Nyní využijeme skutečnosti, že f(x)=-x je klesající funkce,
    a proto f(x_1) < f(x_2) ~\Leftrightarrow~ x_1 > x_2.
  • Porovnáním argumentů této funkce získáme nerovnici x>\sqrt{2}.
  • Množina všech kořenů rovnice K=(\sqrt{2},+\infty).

Zápis řešení:

NAHORU