Speciální případy exponenciálních rovnic
V této kapitole nebudeme zavádět žádné další metody řešení exponenciálních rovnic. Všechny příklady, které uvedeme, lze řešit pomocí metod, které již známe. Jsou to ale příklady, ve kterých je nutno provést úpravu, která není zcela běžná a nemusela by nás napadnout.
V prvním příkladu ukážeme, jak upravit rovnici, ve které se vyskytují mocniny o třech různých základech, na mocniny o stejném základu. Musí to být ovšem základy, které mají další speciální vlastnosti.
Řešte rovnici s neznámou x \in R:
- Definiční obor rovnice D=R.
- Rovnice obsahuje mocniny o třech různých základech, a proto zatím nemůžeme použít žádnou z probíraných metod. Musíme nejdříve rovnici upravit.
- Všimněme si, že rozklad základů mocnin na součin prvočísel je něčím zvláštní:
9=3\cdot 3,~15=3\cdot 5,~25=5\cdot 5 - Vydělíme-li celou rovnici libovolnou z těchto tří mocnin, dokážeme zkrátit některé výrazy. Ukážeme, co se stane, když dělíme např. mocninou
25^x.
9^x:25^x=(\frac{9}{25})^x=(\frac{3}{5})^{2x}
15^x:25^x=(\frac{15}{25})^x=(\frac{3}{5})^x
25^x:25^x=1 - Po této úpravě vznikne rovnice (\frac{3}{5})^{2x}+(\frac{3}{5})^x=1, kterou lze řešit substitucí S:(\frac{3}{5})^x=a.
- Rovnici a^2+a=1 vyřešíme pomocí diskriminantu: a_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, a_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
- Zpětně nahradíme za neznámou a výraz (\frac{3}{5})^x.
- První rovnice (\frac{3}{5})^{x_1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} nemá řešení, protože na pravé straně rovnice je záporné číslo.
- Druhou rovnici (\frac{3}{5})^{x_2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} vyřešíme logaritmováním. x_2=\log{(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}:\log(\frac{3}{5})
- Množina všech kořenů K=\{\log{(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})}:\log(\frac{3}{5})\}.
Zápis řešení:
Poslední exponenciální rovnice, jejíž řeší ukážeme, má opět speciální tvar. Obsahuje dvě mocniny s různými základy, pro které platí, že jejich součin je roven 1.
Řešte rovnici s neznámou x \in R:
- Abychom mohli určit definiční obor této rovnice, musíme ověřit, že základy všech mocnin jsou kladná čísla různá od 1. Oba základy v naší rovnici to splňují, proto D=R.
- Dále si můžeme všimnout, že součin základů mocnin v rovnici je jedna:
(3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})=3^2-(\sqrt{8})^2=9-8=1 - Pokud vynásobíme celou rovnici jednou z těchto mocnin, rovnice se nám zjednoduší, protože
(3-\sqrt{8})^x\cdot (3+\sqrt{8})^x=[(3-\sqrt{8})\cdot (3+\sqrt{8})]^x=[1]^x=1.
Po úpravě se v rovnici budou vyskytovat jen mocniny se stejným základem. - Po vynásobení rovnice výrazem (3+\sqrt{8})^x vznikne rovnice
(3+\sqrt{8})^{2x}+1=34 \cdot (3+\sqrt{8}), kterou vyřešíme substitucí S: (3+\sqrt{8})^x=a. - Kořeny rovnice a^2+1=34a jsou a_{1,2}=17\pm \sqrt{288}.
- Po zpětné substituci vyřešíme rovnici (3+\sqrt{8})^{x_{1,2}}=17\pm \sqrt{288} logaritmováním.
- Rovnici řeší x_{1,2}=\log(17\pm \sqrt{288}):\log(3+\sqrt{8}).
- Podle kalkulačky je přibližná hodnota řešení x_{1,2}\doteq \pm2. V poznámce je ukázáno, že se jedná o přesnou hodnotu řešení.
- Množina všech kořenů K=\{-2,2\}.
Poznámka
Zápis řešení:
