Grafické řešení logaritmických rovnic

Na konci kapitoly o exponenciálních rovnicích jsme se naučili řešit exponenciální rovnice, které nešly řešit žádnou nám známou metodou. Nyní se naučíme řešit logaritmické rovnice, které nelze řešit žádnou metodu zmiňovanou v předchozích kapitolách. Půjde o grafické řešení logaritmických rovnic.

Java applet - připomenutí

Nejprve shrneme, co jsme se naučili v kapitole Grafické řešení exponenciálních rovnic:

Zbývá nám tedy ukázat, jak zadat předpis logaritmické funkce do Java appletu. Do programu GEOGEBRA lze zadat pouze funkce přirozený a dekadický logaritmus. Logaritmy dalších základů zadáváme jako podíl dvou logaritmů.

Operace Matematický zápis Vstup appletu
Dekadický logaritmus \log x lg(x)
Přirozený logaritmus \ln x ln(x)
Obecný logaritmus \log_a x lg(x)/lg(a)

Ještě si ukážeme, jak lze zadat předpisy funkcí s logaritmy do Java appletu:

Matematický zápis Vstup appletu
y=\log_5(x+3) y=lg(x + 3) / lg(5)
y=\log_{x+1}2 y= lg(2) / lg(x + 1)
y=\log^25x-\log5x y=(lg(5 x))² - lg(5 x)
y=\log_5 \frac{x^2+1}{x-1}-1 y=lg((x² + 1) / (x - 1)) / lg(5) - 1
Grafické řešení rovnic

Pomocí následujícího appletu budeme graficky řešit logaritmické rovnice.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Využití appletu si ukážeme na jednoduchém příkladu.

Příklad 5.21
Řešte graficky s využitím appletu rovnici s neznámou x\in R:

\log_\frac{1}{2}(2-x)=-2

Řešení
    Budeme postupovat přesně dle instrukcí, popsaných v kapitole o grafickém řešení exponenciálních rovnic.
  • Převedeme všechny výrazy v rovnici na levou stranu:
    \log_\frac{1}{2}(2-x)+2=0.
  • Do vstupního pole zadáme předpis funkce y=lg(2-x)/lg(1/2)+2 .
  • Najdeme průsečíky grafu funkce s osou x.
  • Je jím bod [-2,0].
  • Řešením této rovnice je tedy x-ová souřadnice tohoto bodu.
  • K=\{-2\}.

Tuto rovnici jsme již řešili v příkladu 5.4 porovnáním argumentů. Vidíme, že jsme jinou metodou dosáhli stejného výsledku.

Cvičení 5.21
Řešte graficky s využitím appletu rovnice s neznámou x\in R:
\log_2 x^2=x-1 \log_7 |x|= \sin x
\log_2 x^2-x+1=0
\log_7 |x|- \sin x=0
y=lg(x^2)/lg(2)-x+1
y=lg(abs(x))/lg(7)-sin(x)
K=\{-0,58;1;6,23\}
K=\{-5,26;-3,92;-0,44;2,62\}