Mocniny

Mocniny s přirozeným exponentem

Nejprve si připomeneme počítání s mocninami. Pokud si ve výpočtech nebudete jisti, podívejte se na následující definici nebo využijte webovou aplikaci věnovanou základním poznatkům matematiky na střední škole.

Cvičení 1.1

Vypočítejte:

3^2=	3\cdot 3=9	5^3=	5\cdot 5 \cdot 5 = 125
17^1=	17	(-1)^3=	(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1
1,3^2=	1,3\cdot 1,3=1,69	(-\frac{3}{2})^2=	(-\frac{3}{2})\cdot (-\frac{3}{2}) =\frac{9}{4}
(-\frac{2}{5})^3=	(-\frac{2}{5})\cdot(-\frac{2}{5})\cdot(-\frac{2}{5})=-\frac{8}{125}	0,2^4=	0,2\cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 =0,001~6

Pro každé reálné číslo a a přirozené číslo n je: a^n=\underbrace{a\cdot a \cdot ... \cdot a}_{n}.

Zápis a^n čteme "n -tá mocnina čísla a".

Číslo a nazýváme základ mocniny,
číslo n nazýváme exponent.

NAHORU

Mocniny s celým exponentem

Dále rozšíříme exponent mocniny na všechna celá čísla. Je tedy nutné připomenout,+ co znamaná a^0 a a^{-n}, kde n \in N.

Cvičení 1.2

Vypočítejte:

4^0=	1	9^{-1}=	\frac{1}{9}
(\frac{5}{3})^{-1}=	\frac{3}{5}	(5)^{-2}=	\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}

Pro každé reálné číslo a\neq0 a přirozené číslo n platí: a^0=1,
a^{-n}=\frac{1}{a^n}.

NAHORU

Mocniny s racionálním exponentem

Již umíme vypočítat mocninu s celočíselným exponentem. Nyní si připomeneme výpočet mocniny s racionálním exponentem. Musíme vysvětlit, co znamená
a^{\frac{1}{n}} a a^{\frac{k}{n}}, kde n je libovolné přirozené číslo a k je libovolné celé číslo.

V následujícím textu budeme počítat se základem mocniny, který bude nabývat pouze kladných hodnot. Pokud bychom uvažovali i záporná čísla, museli bychom se omezit pouze na liché odmocniny.

Cvičení 1.3

Vypočítejte:

9^{\frac{1}{2}}=	\sqrt{9} = 3	8^{\frac{2}{3}}=	(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4
4^{-\frac{1}{2}}=	(\sqrt{4})^{-1}=2^{-1}=\frac{1}{2}	25^{\frac{3}{2}}=	(\sqrt{25})^3=5^3=125
16^{0,5}=	16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4	81^{-0,25}=	81^{-\frac{1}{4}}=(\sqrt[4]{81})^{-1}=3^{-1}=\frac{1}{3}
32^{0,4}=	32^{\frac{2}{5}}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4	(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}=	\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}

Pro každé kladné reálné číslo a, přirozené číslo n a celé číslo k platí: a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},
a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}=(\sqrt[n]{a})^k.

NAHORU

Aritmetické operace s mocninami

Zbývá si připomenout vzorce pro práci s mocninami. Zopakujeme si násobení, umocňování a dělení mocnin.

Cvičení 1.4

Upravte výraz (předpokládejte přípustné hodnoty proměnných):

a^3 \cdot a^5=	a^{3+5}=a^8	b^7:b^4=	b^{7-4}=b^3
x^2:x^7=	x^{2-7}=x^{-5}	y^{\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{2}}=	y^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=y^{\frac{2+3}{6}}=y^{\frac{5}{6}}
(c^{-3})^4=	c^{(-3)\cdot 4}=c^{-12}	(a^2b)^3=	(a^2)^3b^3=a^{2\cdot3}b^3=a^6b^3
(\frac{x^3}{2y})^2=	\frac{(x^3)^2}{(2y)^2}=\frac{x^{3\cdot 2}}{2^2y^2}=\frac{x^6}{4y^2}	(\frac{ab}{c})^{-2}=	(\frac{c}{ab})^2=\frac{c^2}{a^2b^2}

Pro každá dvě kladná reálná čísla a, b a racionální čísla r, s platí:
a^r\cdot a^s=a^{r+s}
(a^r)^s=a^{r\cdot s}
a^r:a^s=a^{r-s}
(a\cdot b)^r=a^r\cdot b^r
(\frac{a}{b})^r=\frac{a^r}{b^r}

Zatím jsme nezmínili, jak sčítat mocniny. Mocniny lze sčítat, pokud mají stejný základ i exponent. Zjednodušeně lze říct, že jde o sčítání dvou jednočlenů.

NAHORU

Vytýkání

Poučku o sčítání mocnin budeme používat hlavně při vytýkání. Součet dvou mocnin budeme upravovat na součin. Např. ve výrazu 5^x+5^{x+1} nelze sečíst mocniny, ale po převodu na výraz 5^x+5\cdot 5^x můžeme vytknout mocninu 5^x a získat výraz 5^x\cdot(1+5)=6\cdot 5^x.

Cvičení 1.5

Vhodnou úpravou převeďte výraz na součinový tvar:

3^x+3^{x+2}=	3^x+9\cdot 3^x=3^x\cdot(1+9)=10\cdot 3^x
7^x-7^{x-1}=	7\cdot 7^{x-1}-7^{x-1}=7^{x-1}\cdot(7-1)=6\cdot 7^{x-1}
(\frac{1}{4})^x-(\frac{1}{4})^{x-1}=	(\frac{1}{4})^x-4\cdot(\frac{1}{4})^x=(\frac{1}{4})^x \cdot(1-4)=-3\cdot (\frac{1}{4})^x
5^{x+1}-5^{x-1}=	25\cdot 5^{x-1}-5^{x-1}=5^{x-1}\cdot(25-1)=24\cdot 5^{x-1}

NAHORU