Porovnání exponentů

Základní úprava

Nejjednodušším typem exponenciální rovnice je rovnice ve tvaru a^{f(x)}=a^{g(x)} nebo rovnice, které lze ekvivalentními úpravami převést na tento tvar. Symboly f(x), g(x) zastupují výrazy s neznámou x, které si můžeme přestavit jako předpisy nějakých funkcí. Protože je exponenciální funkce definovaná a prostá na celém definičním oboru, můžeme pouze porovnat argumenty funkcí stejným způsobem jako v příkladu 3.1. Porovnáním exponentů dostáváme rovnici f(x)=g(x). Jedná se o ekvivalentní úpravu rovnice:

Rovnice a^{f(x)}=a^{g(x)} s neznámou x \in R pro a \in R^+-\{1\} je ekvivalentní s rovnicí
f(x)=g(x).
Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání exponentů.
Příklad 4.2
Řešte rovnice s neznámou x,y \in R:
  1. a) 3^{x-1}=3^2
  2. b) 5^y=\frac{1}{25}
Řešení
    a)
  • Definiční obor rovnice D=R.
  • Na levé i pravé straně rovnice je mocnina se stejným základem. Využijeme právě zavedenou ekvivalentní úpravu a porovnáme exponenty mocnin na pravé a levé straně rovnice.
  • Získáme rovnici x-1=2, jejímž řešením je x=3.
  • Množina všech kořenů K=\{3\}.

Zápis řešení:

    b)
  • Definiční obor rovnice D=R.
  • Abychom mohli porovnat exponenty, musíme nejprve pravou stranu rovnice převést na mocninu se základem 5. Upravíme tedy výraz na pravé straně rovnice: \frac{1}{25}=5^{-2}.
  • Porovnáním exponentů vznikne rovnice y=-2.
  • Množina všech kořenů K=\{-2\}.

Zápis řešení:

Cvičení 4.2
Řešte rovnice s neznámou x, y \in R:
3^y=\frac{1}{27} 2^{2x+1}=1
D=R
D=R
3^y=3^{-3}
2^{2x+1}=2^0
y=-3
2x+1=0
K=\{-3\}
x=-\frac{1}{2}
K=\{-\frac{1}{2}\}
NAHORU
Úprava mocnin

Často je potřeba využít několik ekvivalentních úprav, než se nám povede převést exponenciální rovnici na tvar a^{f(x)}=a^{g(x)}. Nejprve uvedeme příklady, kde využíváme pravidla pro práci s racionálními exponenty. Pokud v některých krocích nebudete mít jasno, zopakujte si první kapitolu věnovanou práci s mocninami.

Příklad 4.3
Řešte rovnici s neznámou x \in R:

5^x\cdot 2^x=100^{x-2}

Řešení
  • Definiční obor rovnice D=R.
  • Abychom mohli porovnat exponenty, musíme nejprve výraz na pravé i levé straně rovnice převést na mocninu se stejným základem.
  • Levou i pravou stranu rovnice snadno převedeme na mocninu se základem 10:
    L(x)=5^x\cdot 2^x=10^x,
    P(x)=100^{x-2}=10^{2x-4}.
  • Porovnáním exponentů získáme rovnici x=2x-4, jejímž řešením je x=4.
  • Množina všech kořenů K=\{4\}.

Zápis řešení:

Příklad 4.4
Řešte rovnici s neznámou y \in R:

\sqrt[4]{4^y}\cdot \sqrt[3]{2^{y-3}}=\sqrt[6]{16}

Řešení
  • Definiční obor rovnice D=R.
  • Abychom mohli porovnat exponenty, musíme nejprve výraz na pravé i levé straně rovnice převést na mocninu se stejným základem.
  • Každý výraz v rovnici lze převést na mocninu se základem 2:
    \sqrt[4]{4^y}=2^{\frac{y}{2}},
    \sqrt[3]{2^{y-3}}=2^{\frac{y-3}{3}},
    \sqrt[6]{16}=2^{\frac{4}{6}}.
  • Po úpravě výraz na levé straně rovnice odpovídá mocnině L(x)=2^{\frac{y}{2}+\frac{y-3}{3}}.
  • Porovnáním exponentů získáme rovnici \frac{y}{2}+\frac{y-3}{3}=\frac{4}{6}, jejímž řešením je y=2.
  • Množina všech kořenů K=\{2\}.

Zápis řešení:

Příklad 4.5
Řešte rovnici s neznámou z \in R:

\frac{27}{8}=(\frac{2}{3})^z\cdot (\frac{9}{4})^{z+1}

Řešení
  • Definiční obor rovnice D=R.
  • Abychom mohli porovnat exponenty, musíme nejprve výraz na pravé i levé straně rovnice převést na mocninu se stejným základem.
  • Každý výraz v rovnici lze snadno převést na mocninu se základem \frac{2}{3} nebo \frac{3}{2}. Zvolíme například druhou možnost.
  • Všechny výrazy převedeme na mocninu se základem \frac{3}{2}:
    \frac{27}{8}=(\frac{3}{2})^3 ,
    (\frac{2}{3})^z=(\frac{3}{2})^{-z} ,
    (\frac{9}{4})^{z+1}=(\frac{3}{2})^{2z+2}
  • Po úpravě výraz na pravé straně rovnice odpovídá mocnině P(x)=(\frac{3}{2})^{-z+2z+2}.
  • Porovnáním exponentů získáme rovnici 3=-z+2z+2, jejímž řešením je z=1.
  • Množina všech kořenů K=\{1\}.

Zápis řešení:

NAHORU
Vytýkání

Další úprava, která může převést exponenciální rovnici na tvar a^{f(x)}=a^{g(x)}, je vytýkání. Tuto úpravu používáme, jestliže výraz na některé straně rovnice není v součinovém tvaru. Vytknutím vhodné mocniny pak často můžeme výraz převést na součinový tvar. Vytýkání mocnin z výrazů si můžete zopakovat ve cvičení 1.5.

Příklad 4.6
Řešte rovnici s neznámou x \in R:

3^x+3^{x+2}=90

Řešení
  • Definiční obor rovnice D=R.
  • Nejprve upravíme výraz na levé straně rovnice na součinový tvar.
  • Z výrazů 3^x a 3^{x+2} můžeme vytknout 3^x. Levá strana rovnice má tvar:
    L(x)=3^x+3^{x+2}=10\cdot 3^x.
  • Vydělíme rovnici číslem 10 a potom převedeme výraz na pravé straně rovnice na mocninu se základem 3.
  • Získáme rovnici 3^x=3^2, ve které porovnáme exponenty: x=2.
  • Množina všech kořenů K=\{2\}.

Zápis řešení:

Příklad 4.7
Řešte rovnici s neznámou y \in R:

2\cdot5^{y+2}-5^{y+1}=9

Řešení
  • Definiční obor rovnice D=R.
  • Opět nejprve převedeme výraz na levé straně rovnice na součinový tvar.
  • Z výrazů 2\cdot5^{y+2} a 5^{y+1} můžeme určitě vytknout 5^y. Tím bychom ale získali zbytečně velká čísla. Proto vytkneme největší možnou mocninu z obou výrazů, což je 5^{y+1}.
  • Levá strana rovnice tedy odpovídá výrazu:
    L(x)=2\cdot5^{y+2}-5^{y+1}=9\cdot 5^{y+1}.
  • Vydělíme celou rovnici 9 a potom převedeme výraz na pravé straně rovnice na mocninu se základem 5.
  • Získáme rovnici 5^{y+1}=5^0, ve které porovnáme exponenty: y+1=0.
    Řešením poslední rovnice je y=-1.
  • Množina všech kořenů K=\{-1\}.

Zápis řešení:

NAHORU