Substituce
Některé logaritmické rovnice nelze vyřešit porovnáním argumentů. Takové rovnice se snažíme vhodnou substitucí převést na rovnice, které už umíme vyřešit.
Pojem substituce jsme již zavedli při řešení exponenciálních rovnic. Postup řešení i použité značení tedy bude stejné.
Nejjednoduššími příklady budou rovnice, kde přímo můžeme substituovat výraz s logaritmem a vznikne nám například lineární nebo kvadratická rovnice.
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud je splněna podmínka x>0.
- Definiční obor rovnice D=(0,+\infty).
- V rovnici nahradíme všechny výrazy \log_2 x novou neznámou a.
- Vznikne kvadratická rovnice 2a^2+7a-4=0 jejímž řešením jsou
čísla a_1=\frac{1}{2}, a_2=-4. - Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_2 x, tj. a_1=\log_2 x_1, a_2=\log_2 x_2.
- Rovnice \log_2 x_1=\frac{1}{2}, \log_2 x_2=-4 vyřešíme:
Nejprve převedeme čísla \frac{1}{2}, -4 na logaritmus o základu 2 a potom porovnáme argumenty. - Řešením jsou čísla x_1=\sqrt{2}, x_2=\frac{1}{16} .
- Obě čísla leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{\sqrt{2},\frac{1}{16}\}.
Zápis řešení:
| 2\log^2_4 x + 3\log_4 x - 2 =0 | 3\log_5 y + \frac{1}{\log_5 y}=4 |
D=(0,+\infty) |
D=(0,1)\cup(1,+\infty) |
2a^2+3a-2=0 |
3a + \frac{1}{a}=4 |
(2a-1)(a+2)=0 |
3a^2 - 4a +1 =0 |
a_1=\frac{1}{2},~~~a_2=-2 |
(3a-1)(a-1)=0 |
\log_4 x_1=\frac{1}{2},~~~\log_4 x_2=-2 |
a_1=\frac{1}{3},~~~a_2=1 |
\log_4 x_1=\log_4 2,~~~\log_4 x_2=\log_4\frac{1}{16} |
\log_5 x_1=\frac{1}{3},~~~\log_5 x_2=1 |
x_1=2,~~~x_2=\frac{1}{16} |
\log_5 x_1=\log_5 \sqrt[3]{5},~~~\log_5 x_2=\log_5 5 |
2\in D~~~\frac{1}{16}\in D |
x_1=\sqrt[3]{5},~~~x_2=5 |
K=\{2,\frac{1}{16}\} |
\sqrt[3]{5}\in D~~~5\in D |
K=\{\sqrt[3]{5},5\} |
Často je nutné před zavedením substituce upravit rovnici pomocí vět o logaritmech. V příkladu 5.11 se snažíme odstranit mocninu v argumentu logaritmu, v příkladu 5.12 upravujeme argument logaritmu pomocí věty o logaritmu součinu.
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x^3>0, x^2>0 a \log x^2\neq 0.
- Definiční obor rovnice D=(0,1)\cup(1,+\infty).
- Abychom mohli zavést substituci za \log x , musíme nejprve pomocí vět o logaritmech odstranit mocninu v argumentech logaritmů:
\log x^2=2\log x, \log x^3=3\log x. - V rovnici \frac{20}{2 \log x}-1=3\log x nahradíme všechny výrazy \log x novou neznámou a.
- Rovnici \frac{20}{2a}-1=3a s neznámou a \in R vyřešíme.
- Řešením rovnice jsou čísla a_1=\frac{5}{3}, a_2=-2.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log x.
- Rovnice \log x_1=\frac{5}{3}, \log x_2=-2 vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením jsou čísla x_1=10^{\frac{5}{3}}=10\sqrt[3]{100}, x_2=10^{-2}=\frac{1}{100}.
- Obě čísla leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{10\sqrt[3]{100},\frac{1}{100}\}.
Zápis řešení:
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky 5x>0 a 25x>0.
- Definiční obor rovnice D=(0,+\infty).
- Abychom mohli zavést substituci za \log_5 5x , musíme nejprve upravit výraz \log_5 25x:
\log_5 25x=\log_5 5\cdot 5x=\log_5 5 + \log_5 5x=1+\log_5 5x. - V rovnici \log^2_5 5x + 1 + \log_5 5x = 7 nahradíme všechny výrazy \log_5 5x novou neznámou a.
- Rovnici a^2+1+a=7 s neznámou a \in R vyřešíme.
- Řešením rovnice jsou čísla a_1=2, a_2=-3.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_5 5x.
- Rovnice \log 5x_1=2, \log 5x_2=-3 vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením jsou čísla x_1=5, x_2=\frac{1}{625}.
- Obě čísla leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{5,\frac{1}{625}\}.
Zápis řešení:
