Porovnání argumentů

Základní úprava

Nejjednodušším typem logaritmické rovnice je rovnice ve tvaru \log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} nebo rovnice, které lze ekvivalentními úpravami převést na tento tvar.

Protože je logaritmická funkce prostá, platí: rovnají-li se funkční hodnoty logaritmické funkce, rovnají se i její argumenty. V rovnici \log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} porovnáme argumenty a získáme rovnici f(x)=g(x). Získali jsme tak další ekvivalentní úpravu rovnice:

Rovnice \log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} s neznámou x \in R pro a \in R^+-\{1\} je ekvivalentní s rovnicí
f(x)=g(x)
za předpokladu, že f(x)>0 a g(x)>0.
Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů.
Příklad 5.3
Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_4{(x+2)}=\log_4{(4-x)}

Řešení
  • Do definičního oboru rovnice patří všechna reálná čísla, pro která je argument logaritmu větší než nula.
  • Řešíme tedy soustavu dvou nerovnic x+2>0 a 4-x>0.
  • První nerovnici řeší x\in(-2,+\infty) a druhou nerovnici x\in(-\infty,4).
  • Do definičního oboru patří čísla, která leží v obou intervalech: D=(-2,4).
  • Na levé i pravé straně rovnice se nachází logaritmus se stejným základem. Použijeme právě zavedenou ekvivalentí úpravu a porovnáme argumenty logaritmů na obou stranách rovnice.
  • Získáme rovnici x+2=4-x, jejímž řešením je x=1.
  • Číslo 1 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{1\}.

Zápis řešení:

Cvičení 5.3
Řešte rovnice s neznámou x, y \in R:
\log_2{(2x+5)}=\log_2{1} \log{(2y+3)}=\log{(y-2)}
D=(-\frac{2}{5},+\infty)
D=(2,+\infty)
2x+5=1
2y+3=y-2
x=-2
y=-5
-2\in D
-5\notin D
K=\{-2\}
K=\emptyset
NAHORU
Převod čísla na logaritmus

Může se stát, že na jedné straně rovnice se místo logaritmu nachází číslo. Potom musíme nejprve toto číslo převést na logaritmus o základu, který se vyskytuje na druhé straně rovnice. Podrobný popis řešení takových rovnic je uveden v následujícím příkladu.

Příklad 5.4
Řešte rovnice s neznámou x \in R:
  1. a) \log_3(2x+1)=3
  2. b) \log_{\frac{1}{2}}(2-x)=-2
Řešení
    a)
  • Definiční obor rovnice D=(-\frac{1}{2},+\infty).
  • Číslo 3 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem 3:
    3=\log_3{27}.
  • Po dosazení logaritmu za číslo 3 získáme rovnici \log_3(2x+1)=\log_327, ve které můžeme porovnat agrumenty.
  • Získáme ekvivalentí rovnici 2x+1=27, jejímž řešením je x=13.
  • Číslo 13 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{13\}.

Zápis řešení:

    b)
  • Definiční obor rovnice D=(-\infty,2).
  • Číslo -2 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem \frac{1}{2}:
    -2=\log_{\frac{1}{2}}{4}.
  • Po dosazení logaritmu za číslo -2 získáme rovnici \log_{\frac{1}{2}}(2-x)=\log_{\frac{1}{2}}{4}, ve které můžeme porovnat agrumenty.
  • Získáme rovnici 2-x=4, jejímž řešením je x=-2.
  • Číslo -2 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{-2\}.

Zápis řešení:

Cvičení 5.4
Řešte rovnice s neznámou x, y \in R:
\log_7(x+30)=2 \log_2(y+1)=-1
D=(-30,+\infty)
D=(-1,+\infty)
\log_7(x+30)=\log_7 49
\log_2(y+1)=\log_2 \frac{1}{2}
x+30=49
y+1=\frac{1}{2}
x=19
y=-\frac{1}{2}
19\in D
-\frac{1}{2}\in D
K=\{19\}
K=\{-\frac{1}{2}\}
NAHORU
Vícenásobné logaritmy

Úpravu porovnání argumentů můžeme během řešení rovnice použít vícekrát. Zpravidla se používá v případě, že argument logaritmu obsahuje další logaritmus. U těchto příkladů je obtížné určit definiční obor rovnice. Museli bychom totiž řešit logaritmickou nerovnici, což je často složitější než samotné řešení rovnice. Proto budeme určování definičního oboru vynechávat. V tom případě ale musíme na konci příkladu provést zkoušku.

Příklad 5.5
Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_4(6+5\log_3{x})=2

Řešení
  • Definiční obor rovnice nebudeme určovat.
  • Číslo 2 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem 4:
    2=\log_4{16}.
  • Získáme rovnici \log_4(6+5\log_3{x})=\log_4{16}, ve které porovnáme argumenty.
  • Rovnici 6+5\log_3{x}=16 upravíme tak, aby na levé straně rovnice zbyl jen logaritmus.
  • V upravené rovnici \log_3{x}=2 převedeme číslo 2 na logaritmus se základem 3: 2=\log_3{9}.
  • Získáme rovnici \log_3{x}=\log_3{9}, ve které porovnáme argumenty: x=9.
  • Pro x=9 uděláme zkoušku:
    L(9)=\log_4(6+5\log_3{9})=\log_4(6+5\cdot 2)=\log_4 {16}=2
    P(9)=2
  • L(9)=P(9), proto x=9 je řešením původní rovnice: K=\{9\}.

Zápis řešení:

NAHORU
Složitější argument

Zatím jsme po porovnání argumentů řešili vždy lineární rovnici. Pokud v argumentu logaritmu bude složitější výraz, můžeme dostat i jiné druhy rovnic. Následující příklad vede po porovnání argumentů na kvadratickou rovnici.

Příklad 5.6
Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_5\frac{x^2+1}{x-1}=1

Řešení
  • Do definičního oboru patří čísla, pro která je zlomek \frac{x^2+1}{x-1} větší než nula.
  • Čitatel tohoto zlomku je vždy kladný, proto stačí, je-li x-1>0.
  • Definiční obor rovnice D=(1,+\infty).
  • Číslo 1 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem 5:
    1=\log_5{5}
  • Získáme rovnici \log_5\frac{x^2+1}{x-1}=\log_5{5}, ve které porovnáme argumenty.
  • Rovnici \frac{x^2+1}{x-1}=5 vynásobíme jmenovatelem zlomku a upravíme.
  • Vznikne nám kvadratická rovnice x^2-5x+6=0, jejímž řešením je x_1=3, x_2=2.
  • Obě čísla patří do definičního oboru rovnice, proto K=\{2,3\}.

Zápis řešení:

NAHORU