Porovnání argumentů
Základní úprava
Nejjednodušším typem logaritmické rovnice je rovnice ve tvaru \log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} nebo rovnice, které lze ekvivalentními úpravami převést na tento tvar.
Protože je logaritmická funkce prostá, platí: rovnají-li se funkční hodnoty logaritmické funkce, rovnají se i její argumenty. V rovnici \log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} porovnáme argumenty a získáme rovnici f(x)=g(x). Získali jsme tak další ekvivalentní úpravu rovnice:
Rovnice
\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} s neznámou
x \in R pro
a \in R^+-\{1\} je ekvivalentní s rovnicí
f(x)=g(x)
za předpokladu, že
f(x)>0
a
g(x)>0.
Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat
porovnání argumentů.
Příklad 5.3
Řešte rovnici s neznámou
x \in R:
\log_4{(x+2)}=\log_4{(4-x)}
Řešení
- Do definičního oboru rovnice patří všechna reálná čísla, pro která je argument logaritmu větší než nula.
- Řešíme tedy soustavu dvou nerovnic x+2>0 a 4-x>0.
- První nerovnici řeší x\in(-2,+\infty) a druhou nerovnici x\in(-\infty,4).
- Do definičního oboru patří čísla, která leží v obou intervalech: D=(-2,4).
- Na levé i pravé straně rovnice se nachází logaritmus se stejným základem. Použijeme právě zavedenou ekvivalentí úpravu a porovnáme argumenty logaritmů na obou stranách rovnice.
- Získáme rovnici x+2=4-x, jejímž řešením je x=1.
- Číslo 1 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{1\}.
Zápis řešení:
Cvičení 5.3
Řešte rovnice s neznámou
x, y \in R:
\log_2{(2x+5)}=\log_2{1} |
\log{(2y+3)}=\log{(y-2)} |
D=(-\frac{2}{5},+\infty) |
D=(2,+\infty) |
2x+5=1 |
2y+3=y-2 |
x=-2 |
y=-5 |
-2\in D |
-5\notin D |
K=\{-2\} |
K=\emptyset |
Převod čísla na logaritmus
Může se stát, že na jedné straně rovnice se místo logaritmu nachází číslo. Potom musíme nejprve toto číslo převést na logaritmus o základu, který se vyskytuje na druhé straně rovnice. Podrobný popis řešení takových rovnic je uveden v následujícím příkladu.
Příklad 5.4
Řešte rovnice s neznámou
x \in R:
-
a) \log_3(2x+1)=3
-
b) \log_{\frac{1}{2}}(2-x)=-2
Řešení
a)
- Definiční obor rovnice D=(-\frac{1}{2},+\infty).
- Číslo 3 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem 3:
3=\log_3{27}.
- Po dosazení logaritmu za číslo 3 získáme rovnici \log_3(2x+1)=\log_327, ve které můžeme porovnat agrumenty.
- Získáme ekvivalentí rovnici 2x+1=27, jejímž řešením je x=13.
- Číslo 13 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{13\}.
Zápis řešení:
b)
- Definiční obor rovnice D=(-\infty,2).
- Číslo -2 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem \frac{1}{2}:
-2=\log_{\frac{1}{2}}{4}.
- Po dosazení logaritmu za číslo -2 získáme rovnici \log_{\frac{1}{2}}(2-x)=\log_{\frac{1}{2}}{4}, ve které můžeme porovnat agrumenty.
- Získáme rovnici 2-x=4, jejímž řešením je x=-2.
- Číslo -2 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{-2\}.
Zápis řešení:
Cvičení 5.4
Řešte rovnice s neznámou
x, y \in R:
\log_7(x+30)=2 |
\log_2(y+1)=-1 |
D=(-30,+\infty) |
D=(-1,+\infty) |
\log_7(x+30)=\log_7 49 |
\log_2(y+1)=\log_2 \frac{1}{2} |
x+30=49 |
y+1=\frac{1}{2} |
x=19 |
y=-\frac{1}{2} |
19\in D |
-\frac{1}{2}\in D |
K=\{19\} |
K=\{-\frac{1}{2}\} |
Vícenásobné logaritmy
Úpravu porovnání argumentů můžeme během řešení rovnice použít vícekrát. Zpravidla se používá v případě, že argument logaritmu obsahuje další logaritmus. U těchto příkladů je obtížné určit definiční obor rovnice. Museli bychom totiž řešit logaritmickou nerovnici, což je často složitější než samotné řešení rovnice. Proto budeme určování definičního oboru vynechávat. V tom případě ale musíme na konci příkladu provést zkoušku.
Příklad 5.5
Řešte rovnici s neznámou
x \in R:
\log_4(6+5\log_3{x})=2
Řešení
- Definiční obor rovnice nebudeme určovat.
- Číslo 2 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem 4:
2=\log_4{16}.
- Získáme rovnici \log_4(6+5\log_3{x})=\log_4{16}, ve které porovnáme argumenty.
- Rovnici 6+5\log_3{x}=16 upravíme tak, aby na levé straně rovnice zbyl jen logaritmus.
- V upravené rovnici \log_3{x}=2 převedeme číslo 2 na logaritmus se základem 3:
2=\log_3{9}.
- Získáme rovnici \log_3{x}=\log_3{9}, ve které porovnáme argumenty: x=9.
- Pro x=9 uděláme zkoušku:
L(9)=\log_4(6+5\log_3{9})=\log_4(6+5\cdot 2)=\log_4 {16}=2
P(9)=2
- L(9)=P(9), proto x=9 je řešením původní rovnice: K=\{9\}.
Zápis řešení:
Složitější argument
Zatím jsme po porovnání argumentů řešili vždy lineární rovnici. Pokud v argumentu logaritmu bude složitější výraz, můžeme dostat i jiné druhy rovnic. Následující příklad vede po porovnání argumentů na kvadratickou rovnici.
Příklad 5.6
Řešte rovnici s neznámou
x \in R:
\log_5\frac{x^2+1}{x-1}=1
Řešení
- Do definičního oboru patří čísla, pro která je zlomek \frac{x^2+1}{x-1} větší než nula.
- Čitatel tohoto zlomku je vždy kladný, proto stačí, je-li x-1>0.
- Definiční obor rovnice D=(1,+\infty).
- Číslo 1 na pravé straně rovnice převedeme na logaritmus se základem 5:
1=\log_5{5}
- Získáme rovnici \log_5\frac{x^2+1}{x-1}=\log_5{5}, ve které porovnáme argumenty.
- Rovnici \frac{x^2+1}{x-1}=5 vynásobíme jmenovatelem zlomku a upravíme.
- Vznikne nám kvadratická rovnice x^2-5x+6=0, jejímž řešením je x_1=3, x_2=2.
- Obě čísla patří do definičního oboru rovnice, proto K=\{2,3\}.
Zápis řešení: