Exponenciální rovnice - úlohy

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

7^x=1

Řešení

• Definiční obor rovnice D=R.
• Převedeme výraz na pravé straně rovnice na mocninu se základem 7: 1=7^0.
• Rovnici 7^x=7^0 vyřešíme porovnáním exponentů.
• Množina všech kořenů K=\{0\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

3^{4+x}\cdot 27^{2x-3}=81^{3x-5}

Řešení

• Definiční obor rovnice D=R.
• Převedeme výraz na levé i pravé straně rovnice na mocninu o základu 3:
  3^{4+x+6x-9}=3^{12x-20}
• Porovnáme exponenty a rovnici vyřešíme.
• Množina všech kořenů K=\{3\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

13^{x+2}=6

Řešení

• Definiční obor rovnice D=R.
• Logaritmujeme rovnici logaritmem o základu 13:
  (x+2)\log_{13}13=\log_{13}6
• Vyjádříme neznámou x.
• Množina všech kořenů K=\{\log_{13} 6 -2\}~.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

3\cdot 5^x = 4\cdot 10^x

Řešení

• Definiční obor rovnice D=R.
• Vydělíme levou i pravou stranu rovnice mocninou 10^x a číslem 3.
• Logaritmujeme rovnici (\frac{1}{2})^x = \frac{4}{3}~ logaritmem o základu \frac{1}{2}.
• Množina všech kořenů K=\{\log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{3}\}~.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

4^x-7\cdot2^x-8=0

Řešení

• Definiční obor rovnice D=R.
• Zavedeme substituci 2^x=a:
  a^2-7a-8=0.
• Řešením této rovnice jsou čísla a_1=-1, a_2=8.
• Zpětně nahradíme neznámou a výrazem 2^x a rovnice vyřešíme.
• Množina všech kořenů K=\{3\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

5^x\cdot4^{1-x}-4^{x}\cdot5^{1-x}=0

Řešení

• Definiční obor rovnice D=R.
• Upravíme výrazy na levé straně rovnice:
  4\cdot(\frac{5}{4})^x-5\cdot(\frac{4}{5})^x - 1 =0.
• Zavedeme substituci (\frac{5}{4})^x=a:
  4a-5a^{-1}-1=0.
• Řešením této rovnice jsou čísla a_1=\frac{5}{4}, a_2=-1.
• Zpětně nahradíme neznámou a výrazem (\frac{5}{4})^x a rovnice vyřešíme.
• Množina všech kořenů K=\{1\}.
• Zápis řešení: