Porovnání exponentů

Základní úprava

Nejjednodušším typem exponenciální nerovnice je nerovnice ve tvaru a^{f(x)} < a^{g(x)} nebo nerovnice, které lze ekvivalentními úpravami převést na tento tvar. Řešení takové nerovnice využívá zákonitostí, které jsme odvodili při porovnávání dvou mocnin.

Při řešení takové nerovnice musíme rozlišit dva případy.

Podrobně je porovnání argumentů rostoucí a klesající funkce vysvětleno v kapitole o funkcích. Shrneme:

Nerovnice a^{f(x)} < a^{g(x)} s neznámou x \in R je ekvivalentní s nerovnicí
  • f(x) < g(x), pro a > 1,
  • f(x) > g(x), pro a \in (0,1).
Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání exponentů.

Zatím jsme zmínili pouze nerovnice, kde byl použit znak nerovnosti <. Stejným způsobem se řeší i nerovnice, kde jsou použity znaky nerovnosti >, \leq, \geq. Při porovnání exponentů platí:

Porovnáváme-li exponenty mocnin se základem a > 1,
neotáčíme znaménko nerovnosti.
Porovnáváme-li exponenty mocnin se základem a \in (0,1),
otáčíme znaménko nerovnosti.
Příklad 6.1
Řešte nerovnice s neznámou x \in R:
  1. a) 3^{x+1}\leq 27
  2. b) (\frac{1}{3})^{x-2} > 3
Řešení
    a)
  • Definiční obor nerovnice D=R.
  • Nejprve převedeme výraz na pravé straně nerovnice na mocninu se základem 3, abychom mohli porovnat exponenty:
    27=3^3.
  • Porovnáme exponenty mocnin na obou stranách nerovnice. Protože je základ mocniny větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti.
  • Získáme nerovnici x+1\leq 3, která je ekvivalentní s nerovnicí x \leq 2.
  • Množina všech kořenů K=(-\infty, 2>.

Zápis řešení:

    b)
  • Definiční obor nerovnice D=R.
  • Nejprve převedeme výraz na pravé straně nerovnice na mocninu se základem \frac{1}{3}, abychom mohli porovnat exponenty:
    3=(\frac{1}{3})^{-1}.
  • Porovnáme exponenty mocnin na obou stranách nerovnice. Protože je základ mocniny menší než jedna, otáčíme znak nerovnosti.
  • Získáme nerovnici x-2 < -1, která je ekvivalentní s nerovnicí x < 1.
  • Množina všech kořenů K=(-\infty, 1).

Zápis řešení:

Cvičení 6.1
Řešte nerovnice s neznámou x, y \in R:
7^{3x-3} \geq 1 (\frac{1}{2})^{2y+1} \leq \frac{1}{4}
D=R
D=R
7^{3x-3} \geq 7^0
(\frac{1}{2})^{2y+1} \leq (\frac{1}{2})^2
3x-3 \geq 0
2y+1 \geq 2
3x \geq 3
2y \geq 1
x \geq 1
y \geq \frac{1}{2}
K=<1 ,+\infty )
K=<\frac{1}{2} ,+\infty )
NAHORU
Úprava na základní tvar

Nyní ukážeme několik nerovnic, které lze vhodnými úpravami převést na tvar, ve kterém je možné porovnat exponenty mocnin.

V prvním příkladu je nutné všechny výrazy v nerovnici převést na mocniny se stejným základem.

Příklad 6.2
Řešte nerovnici s neznámou x \in R:

2^{x-1} < 4^{x+1}\cdot (\frac{1}{2})^x

Řešení
  • Definiční obor nerovnice D=R.
  • Abychom mohli porovnat exponenty mocnin, musíme nejprve výraz na pravé straně rovnice převést na mocninu se základem 2:
    P(x)=4^{x+1}\cdot (\frac{1}{2})^x=2^{2x+2}\cdot 2^{-x}=2^{2x+2-x}=2^{x+2}.
  • Porovnáme exponenty mocnin na obou stranách nerovnice. Protože je základ mocniny větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti.
  • Získáme nerovnici x-1 < x+2, která je ekvivalentní s nerovnicí -1 < 2.
  • Nerovnost -1 < 2 je pravdivá, proto jsou řešením všechna reálná čísla.
  • Množina všech kořenů K=R.

Zápis řešení:

Nerovnici v dalším příkladu je opět nutné upravit pomocí pravidel pro počítání s mocninami. Navíc nám po porovnání exponentů vznikne kvadratická nerovnice, kterou řešíme s pomocí číselné osy.

Příklad 6.3
Řešte nerovnici s neznámou x \in R:

3^{x^2-2}\cdot 2^{x^2-2} < 36

Řešení
  • Definiční obor nerovnice D=R.
  • Abychom mohli porovnat exponenty mocnin, musíme nejprve výrazy na levé i pravé straně rovnice převést na mocninu se základem 6:
    L(x)=3^{x^2-2}\cdot 2^{x^2-2}=(3\cdot 2)^{x^2-2}=6^{x^2-2},
    P(x)=36=6^2.
  • Porovnáme exponenty mocnin na obou stranách nerovnice. Protože je základ mocniny větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti.
  • Získáme nerovnici x^2-2 < 2, která je ekvivalentní s nerovnicí x^2-4 < 0.
  • Nerovnici x^2-4 < 0 řešíme s pomocí číselné osy:
    Upravíme nerovnici na součinový tvar: (x-2)(x+2) < 0.
    Určíme nulové body výrazů v závorkách: 2, -2.
    Zaneseme nulové body na osu a určíme, ve který intervalech je výraz kladný a záporný.
    Výraz je záporný pro čísla z intervalu (-2,2).
  • Množina všech kořenů K=(-2,2).

Zápis řešení:

Posledním příkladem, který uvádíme v této kapitole, je nerovnice, kde výraz na levé straně nerovnice obsahuje součet dvou jednočlenů. Abychom převedli součet na součin, využijeme vytýkání.

Příklad 6.4
Řešte nerovnici s neznámou x \in R:

(\frac{1}{2})^{x-1}+(\frac{1}{2})^{x-2} \geq 12

Řešení
  • Definiční obor nerovnice D=R.
  • Nejprve upravíme výraz na levé straně rovnice na součinový tvar:
    L(x)=(\frac{1}{2})^{x-1}+(\frac{1}{2})^{x-2}=(\frac{1}{2})^{x-1}+(\frac{1}{2})^{x-1}\cdot (\frac{1}{2})^{-1} =(\frac{1}{2})^{x-1}\cdot(1+2)=3\cdot (\frac{1}{2})^{x-1}.
  • Následně vydělíme nerovnici číslem 3 a vznikne nám nerovnice (\frac{1}{2})^{x-1} \geq 4.
  • Abychom mohli porovnat exponenty mocnin, musíme nejprve výraz na pravé straně nerovnice převést na mocninu se základem \frac{1}{2}:
    4=(\frac{1}{2})^{-2}.
  • Porovnáme exponenty mocnin na obou stranách nerovnice. Protože je základ mocniny menší než jedna, otáčíme znak nerovnosti.
  • Získáme nerovnici x-1 \leq -2, která je ekvivalentní s nerovnicí x \leq -1.
  • Množina všech kořenů K=(-\infty, -1>.

Zápis řešení:

NAHORU