Věty o logaritmech
Vztah mocniny a logaritmu
V celé této kapitole budeme využívat jedno pomocné tvrzení, z kterého odvodíme známé věty o logaritmech.
Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolné kladné reálné číslo r platí:
a^{\log_a{r}}=r.
Důkaz
Důkaz nebudeme provádět zcela formálně. Správně bychom měli vycházet z pravdivého tvrzení a odvozovat z něj rovnost a^{\log_a{r}}=r. V tom případě bychom museli uhodnout, z kterého pravdivého tvzení vycházet. Proto raději zvolíme opačný přístup. Budeme upravovat rovnost a^{\log_a{r}}=r, až dostaneme pravdivé tvrzení. Na konci jen ověříme, že všechny úpravy lze provést opačně - tedy z pravdivého tvzení dokázat tuto rovnost.
Přepišme rovnost a^{\log_a{r}}=r dle definice logaritmu
\log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r:
- Základ mocniny je a,
- exponent je \log_a{r},
- mocnina je r.
\log_a{r}=\log_a{r}
Poslední rovnost je jistě pravdivá.
Všechny úpravy lze provést i v opačném směru, takže z pravdivého tvrzení dokážeme odvodit požadovanou rovnost. Tím je důkaz hotov.
Skryj
Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolná kladná reálná čísla r, s platí:
\log_a{(r\cdot s)}=\log_a{r}+\log_a{s}.
Důkaz
Přepišme rovnost \log_a{(r\cdot s)}=\log_a{r}+\log_a{s}~ dle definice logaritmu
\log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r:
- Základ logaritmu je a,
- argument logaritmu je r\cdot s,
- logaritmus je dán výrazem \log_a{r}+\log_a{s}.
a^{\log_a{r}+\log_a{s}}=r\cdot s
a^{\log_a{r}}\cdot a^{\log_a{s}}=r\cdot s
r\cdot s=r\cdot s
Poslední rovnost je jistě pravdivá.
Všechny úpravy lze provést i v opačném směru, takže z pravdivého tvrzení dokážeme odvodit požadovanou rovnost. Tím je důkaz hotov.
Skryj
Zjednodušeně říkáme:
Logaritmus součinu je součet logaritmů.
Příklad 2.6
Vypočítejte:
-
a) \log_{3}{(81\cdot 27)}
-
b) \log_{6}{9}+\log_{6}{4}
K řešení využijeme tvrzení, že logaritmus součinu je součet logaritmů a obráceně.
a)
- Přepíšeme výraz \log_{3}{(81\cdot 27)} podle výše zmíněného tvrzení na \log_{3}{81}+\log_{3}{27}.
- Vypočítáme oba logaritmy a sečteme je: \log_{3}{81}+\log_{3}{27}=4+3=7.
b)
- Přepíšeme výraz \log_{6}{9}+\log_{6}{4} podle výše zmíněného tvrzení na \log_{6}{(9\cdot 4)}.
- Vypočítáme tento logaritmus: \log_{6}{(9\cdot 4)}=\log_{6}{36}=2.
Zápis řešení:
-
a) \log_{3}{(81\cdot 27)}=\log_{3}{81}+\log_{3}{27}=4+3=7
-
b) \log_{6}{9}+\log_{6}{4}=\log_{6}{(9\cdot 4)}=\log_{6}{36}=2
Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolná kladná reálná čísla r, s platí:
\log_a{\frac{r}{s}}=\log_a{r}-\log_a{s}.
Důkaz
Přepišme rovnost \log_a{\frac{r}{s}}=\log_a{r}-\log_a{s}~ dle definice logaritmu
\log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r:
- Základ logaritmu je a,
- argument logaritmu je \frac{r}{s},
- logaritmus je dán výrazem \log_a{r}-\log_a{s}.
a^{\log_a{r}-\log_a{s}}=\frac{r}{s}
a^{\log_a{r}}: a^{\log_a{s}}=\frac{r}{s}
r: s=\frac{r}{s}
Poslední rovnost je jistě pravdivá.
Všechny úpravy lze provést i v opačném směru, takže z pravdivého tvrzení dokážeme odvodit požadovanou rovnost. Tím je důkaz hotov.
Skryj
Opět zjednodušeně říkáme:
Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů.
Příklad 2.7
Vypočítejte:
-
a) \log_{2}{\frac{1024}{128}}
-
b) \log_{3}{18}-\log_{3}{2}
K řešení využijeme tvrzení, že logaritmus podílu je rozdíl logaritmů a obráceně.
a)
- Přepíšeme výraz \log_{2}{\frac{1024}{128}} podle výše zmíněného tvrzení na
\log_{2}{1024}-\log_{2}{128}.
- Vypočítáme oba logaritmy a odečteme je: \log_{2}{1024}-\log_{2}{128}=10-7=3.
b)
- Přepíšeme výraz \log_{3}{18}-\log_{3}{2} podle výše zmíněného tvrzení na
\log_{3}{\frac{18}{2}}.
- Vypočítáme tento logaritmus: \log_{3}{\frac{18}{2}}=\log_{3}{9}=2.
Zápis řešení:
-
a) \log_{2}{\frac{1024}{128}}=\log_{2}{1024}-\log_{2}{128}=10-7=3
-
b) \log_{3}{18}-\log_{3}{2}=\log_{3}{\frac{18}{2}}=\log_{3}{9}=2
Pro každé a\in R^+-\{1\}, kladné reálné číslo r a libovolné reálné číslo s platí:
\log_a{r^s}=s\cdot \log_a{r}.
Důkaz
Přepišme rovnost \log_a{r^s}=s\cdot \log_a{r}~ dle definice logaritmu
\log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r:
- Základ logaritmu je a,
- argument logaritmu je r^s,
- logaritmus je dán výrazem s\cdot \log_a{r}.
a^{s\cdot \log_a{r}}=r^s
(a^{\log_a{r}})^s=r^s
r^s=r^s
Poslední rovnost je jistě pravdivá.
Všechny úpravy lze provést i v opačném směru, takže z pravdivého tvrzení dokážeme odvodit požadovanou rovnost. Tím je důkaz hotov.
Skryj
Zjednodušeně můžeme říct:
Logaritmus mocniny je násobek logaritmu.
Příklad 2.8
Vypočítejte:
-
a) \log_{3}{9^4}
-
b) 3\log_{8}{2}
K řešení využijeme tvrzení, že logaritmus mocniny je násobek logaritmu a obráceně.
a)
- Přepíšeme výraz \log_{3}{9^4} podle výše zmíněného tvrzení na
4\log_{3}{9}.
- Vypočítáme logaritmus a určíme výsledek: 4\log_{3}{9}=4\cdot 2=8.
b)
- Přepíšeme výraz 3\log_{8}{2} podle výše zmíněného tvrzení na
\log_{8}{2^3}.
- Vypočítáme tento logaritmus: \log_{8}{2^3}=\log_{8}{8}=1.
Zkrácený zápis řešení:
-
a) \log_{3}{9^4}=4\log_{3}{9}=4\cdot 2=8
-
b) 3\log_{8}{2}=\log_{8}{2^3}=\log_{8}{8}=1
Úpravy výrazů s logaritmy
Výše zmíněné věty využijeme při řešení logaritmických rovnic. Často budeme muset výraz na jedné straně rovnice převést na jeden logaritmus. Jak převést výraz s logaritmy na jeden logaritmus, je ukázáno v následujících příkladech.
Příklad 2.9
Převeďte výráz na jeden logaritmus (předpokládejte přípustné hodnoty proměnných):
2-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1)
- Nejprve převedeme číslo 2 na logaritmus o základu 3.
Hledáme takové x, pro které je výraz \log_3 x = 2 viz předchozí kapitola:
\log_3 9 = 2.
- Nyní obsahuje výraz jen logaritmy o stejném základu \log_3 9-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1).
- Podle věty o logaritmu mocniny převedeme všechna čísla před logaritmy do argumentu logaritmu:
4\log_3 a = \log_3 a^4,
\frac{1}{2}\log_3 (a+1)=\log_3(a+1)^\frac{1}{2}=\log_3 \sqrt{a+1}.
- Získáme výraz \log_3 9-\log_3 a^4 + \log_3 \sqrt{a+1}, na který aplikujeme věty o logaritmu součinu a podílu. Převedeme výraz na jeden logaritmus s argumentem ve tvaru zlomku, kde v čitateli bude součin argumentů logaritmů s kladným znaménkem před logaritmem a ve jmenovateli součin argumentů logaritmů se záporným znaménkem před logaritmem:
\log_3 \frac{9\sqrt{a+1}}{a^4}.
Zápis řešení:
2-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1)=
=\log_3 9-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1)=
=\log_3 9-\log_3 a^4 + \log_3 \sqrt{a+1}=
=\log_3 \frac{9\sqrt{a+1}}{a^4}.
Cvičení 2.9
Převeďte výráz na jeden logaritmus (předpokládejte přípustné hodnoty proměnných):
| 2\log_5 x - 1 - \log_5(3x-2)= |
-\frac{1}{3}\log_2 b - 3 - \log_2(2-a)= |
=2\log_5 x - \log_5 5 - \log_5(3x-2)= |
=-\frac{1}{3}\log_2 b - \log_2 8 - \log_2(2-a)= |
=\log_5 x^2 - \log_5 5 - \log_5(3x-2)= |
=-\log_2 \sqrt[3]{b} - \log_2 8 - \log_2(2-a)= |
=\log_5 \frac{x^2}{5(3x-2)} |
=\log_2 \frac{1}{8\sqrt[3]{b}(2-a)} |
Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolná kladná reálná čísla r a s, s\neq 1 platí:
\frac{\log_a{r}}{\log_a{s}}=\log_s{r}.
Důkaz
Nejprve se zbavíme zlomku. Celou rovnost vynásobíme výrazem \log_a{s}:
\log_a{r}=\log_s{r}\cdot\log_a{s}
Dále přepišme rovnost \log_a{r}=\log_s{r}\cdot\log_a{s} dle definice logaritmu
\log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r:
- Základ logaritmu je a,
- argument logaritmu je r,
- logaritmus je dán výrazem\log_s{r}\cdot\log_a{s}.
a^{\log_s{r}\cdot\log_a{s}}=r
(a^{\log_a{s}})^{\log_s{r}}=r
s^{\log_s{r}}=r
r=r
Poslední rovnost je jistě pravdivá.
Všechny úpravy lze provést i v opačném směru, takže z pravdivého tvrzení dokážeme odvodit požadovanou rovnost. Tím je důkaz hotov.
Skryj
Pomocí tohoto tvrzení lze na kalkulačce vypočítat logaritmus libovolného přípustného základu a argumentu:
Pro libovolná kladná reálná čísla r a s, s\neq 1 platí:
\log_s{r}=\frac{\log{r}}{\log{s}},
\log_s{r}=\frac{\ln{r}}{\ln{s}}.
Příklad 2.10
Na kalkulačce vypočítejte a zaokrouhlete na čtyři desetinná místa:
Poznámka
V průběhu výpočtu nebudeme zaokrouhlovat, aby výsledná hodnota byla co nejpřesnější. Mezivýsledky budeme uvádět s přesností na čtyři desetinná místa doplněné o
..., které symbolizují, že počítáme s maximální přesností, která je na kalkulačce k dispozici.
Skryj
-
a) \log_{4}{13}
-
b) \log_{\frac{1}{3}}{\frac{7}{4}}
K výpočtu využijeme dekadický logaritmus (stejně tak bychom mohli použít přirozený logaritmus).
a)
- Přepíšeme výraz \log_{4}{13} podle výše zmíněného tvrzení na \frac{\log{13}}{\log{4}}.
- Vypočítáme oba dekadické logaritmy na kalkulačce.
- Dále na kalkulačce určíme jejich podíl, který je výsledkem příkladu.
Druhý a třetí krok lze provést součastně zadáním celého výrazu do kalkulačky. Tak získáme co nejpřesnější výsledky.
Zápis řešení:
-
a) \log_{4}{13}=\frac{\log{13}}{\log{4}}=\frac{1,113~9...}{0,602~0...}\doteq 1,850~2
-
b) \log_{\frac{1}{3}}{\frac{7}{4}}=\frac{\log{\frac{7}{4}}}{\log{\frac{1}{3}}}=\frac{0,243~0...}{-0,477~1...}\doteq -0,509~4
Cvičení 2.10
Na kalkulačce vypočítejte a zaokrouhlete na čtyři desetinná místa:
| \log_{25}{15}= |
\frac{\log{15}}{\log{25}}= |
\frac{1,176~0...}{1,397~9...}\doteq |
0,841~3 |
| \log_{1,2}{37}= |
\frac{\log{37}}{\log{1,2}}= |
\frac{1,568~2...}{0,079~1...}\doteq |
19,805~2 |
| \log_{\frac{1}{4}}{125}= |
\frac{\log{125}}{\log{\frac{1}{4}}}= |
\frac{2,096~9...}{-0,602~0...}\doteq |
-3,482~9 |