Logaritmus

1. a) 2^3=8
2. b) 3^{(-2)}=\frac{1}{9}
3. c) 25^{\frac{1}{2}}=5

a)
• Základ mocniny a=2 použijeme jako základ logaritmu,
• exponent v=3 jako logaritmus,
• mocninu r=8 jako argument logaritmu.
• Zapíšeme výsledek: \log_2{8}=3.

1. a) \log_2{8}=3
2. b) \log_3{\frac{1}{9}}=-2
3. c) \log_{25}{5}=\frac{1}{2}

a)
• Hledané číslo si označíme symbolem ?: \log_3{9}=?.
• Přepíšeme rovnost pomocí definice logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r tj. 3^?=9.
• Určíme hledané číslo. Ptáme se, na kolikátou musíme umocnit číslo 3, abychom získali číslo 9.
• Snadno uhodneme, že hledané číslo je 2, protože 3^2=9.
• Zapíšeme výsledek: \log_3{9}=2.

1. a) \log_3{9}=? \rightarrow 3^?=9 \rightarrow ?=2, proto \log_3{9}=2
2. b) \log_2{16}=? \rightarrow 2^?=16 \rightarrow ?=4, proto \log_2{16}=4
3. c) \log_6{\frac{1}{36}}=? \rightarrow 6^?=\frac{1}{36} \rightarrow ?=-2, proto \log_6{\frac{1}{36}}=-2
4. d) \log_8{2}=? \rightarrow 8^?=2 \rightarrow ?=\frac{1}{3}, proto \log_8{2}=\frac{1}{3}

1. a) \log_x{16}=4
2. b) \log_8{x}=\frac{1}{3}

a) Nejprve ukážeme, jak vypočítat základ logaritmu v rovnosti \log_x{16}=4.
• Přepíšeme rovnost podle definice logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r.
  \log_x{16}=4~~\Leftrightarrow~~x^4=16
• Řešení této rovnice můžeme uhodnout nebo ji vyřešit odmocněním: x=\sqrt[4]{16}=2.
• Zapíšeme výsledek: x=2.
Poznámka
Malé nepřesnosti jsme se dopustili, když jsme uvedli, že rovnici x^4=16~ můžeme vyřešit odmocněním. Odmocněním můžeme ztratit záporné kořeny této rovnice. Záporné kořeny ale neuvažujeme, protože logaritmus je definován pouze pro kladný základ různý od jedné.
Skryj

b) V rovnosti \log_8{x}=\frac{1}{3} vypočítáme argument logaritmu.
• Opět přepíšeme rovnost podle definice logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r.
  \log_8{x}=\frac{1}{3}~~\Leftrightarrow~~8^{\frac{1}{3}}=x
• Z této rovnice přímo vidíme, jak vypočítat neznámou x=8^{\frac{1}{3}}=2.
• Zapíšeme výsledek x=2.

1. a) \log_x{16}=4 \rightarrow x^4=16 \rightarrow x=2
2. b) \log_8{x}=\frac{1}{3} \rightarrow 8^{\frac{1}{3}}=x \rightarrow x=2

1. a) \log_{12}{3}
2. b) \log_{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}}

• Základ je z intervalu (0,1).
  • Je-li argument menší než jedna, je logaritmus kladné číslo.
  • Je-li argument větší než jedna, je logaritmus záporné číslo.
• Základ je z intervalu (1,+\infty).
  • Je-li argument menší než jedna, je logaritmus záporné číslo.
  • Je-li argument větší než jedna, je logaritmus kladné číslo.

a) Pro \log_{12}{3} je základ větší než 1 a zároveň argument je větší než 1. Logaritmus proto nabývá kladné hodnoty.

b) Pro \log_{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}} je základ menší než 1 a zároveň argument je menší než 1. Logaritmus proto nabývá kladné hodnoty.

1. a) \log{25}
2. b) \ln{7}

Na kalkulačce zvolíme funkci log nebo ln. Jako argument logaritmu zadáme příslušné číslo.

1. a) \log{25}=1,397~9
2. b) \ln{7}=1,945~9