V matematice se setkáváme se situací, kdy rovnost mezi čísly můžeme vyjádřit různými způsoby. Ukážeme si vztah mezi mocninou a odmocninou:
Z rovnosti 3^2=9 plyne rovnost \sqrt[2]{9}=3,
z rovnosti 5^3=125 plyne rovnost \sqrt[3]{125}=5.
Nyní zavedeme ještě další zápis pro mocninu
Číslo a nazýváme základ logaritmu,
Využijeme definici logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r.
Zápis řešení:
2^5=32 | \log_2{32}=5
|
10^3=1~000 | \log_{10}{1~000}=3 |
7^0=1 | \log_7{1}=0 |
3^{-3}=\frac{1}{27} | \log_3{\frac{1}{27}}=-3 |
16^{\frac{1}{4}}=2 | \log_{16}{2}=\frac{1}{4} |
(\frac{1}{3})^{-2}=9 | \log_{\frac{1}{3}}{9}=-2 |
Nejprve se naučíme určovat logaritmy daných základů a argumentů.
|
|
Zápis řešení:
\log_7{7}=? | 7^?=7 |
?=1 |
\log_7{7}=1 |
\log_4{16}=? | 4^?=16 |
?=2 |
\log_4{16}=2 |
\log_{11}{1}=? | 11^?=1 |
?=0 |
\log_{11}{1}=0 |
\log_2{\frac{1}{8}}=? | 2^?=\frac{1}{8} |
?=-3 |
\log_2{\frac{1}{8}}=-3 |
\log_{\frac{1}{3}}{9}=? | (\frac{1}{3})^?=9 |
?=-2 |
\log_{\frac{1}{3}}{9}=-2 |
\log_9{3}=? | 9^?=3 |
?=\frac{1}{2} |
\log_9{3}=\frac{1}{2} |
\log_{\frac{2}{7}}{\frac{7}{2}}=? | (\frac{2}{7})^?=\frac{7}{2} |
?=-1 |
\log_{\frac{2}{7}}{\frac{7}{2}}=-1 |
\log_{\frac{1}{4}}{0,5}=? | (\frac{1}{4})^?=0,5 |
?=\frac{1}{2} |
\log_{\frac{1}{4}}{0,5}=\frac{1}{2} |
Při řešení logaritmických a exponenciálních rovnic bude třeba určit neznámý základ či argument logaritmu. V následujícím příkladu se naučíme základy a argumenty logaritmů počítat.
\log_x{8}=1 | x^1=8 |
x=8 |
\log_3{x}=4 | 3^4=x |
x=81 |
\log_5{x}=0 | 5^0=x |
x=1 |
\log_x{\frac{1}{4}}=2 | x^2=\frac{1}{4} |
x=\frac{1}{2} |
\log_x{125}=-3? | x^{-3}=125 |
x=\frac{1}{5} |
\log_{\frac{1}{4}}{x}=-3? | (\frac{1}{4})^{-3}=x |
x=64 |
Ve cvičeních 2.2 a 2.3 jsme se setkali s několika příklady, kdy byl logaritmus roven nule nebo jedné. Než začnete číst další odstavec, zkuste se podívat, co měly tyto příklady společného.
Již jsme zjistili, kdy je logaritmus roven nule nebo jedné. V následující tabulce přehledně uvedeme, jakých hodnot logaritmus nabývá v závislosti na základu a argumentu logaritmu.
a \in (0,1) | a \in (1,+\infty) | ||
---|---|---|---|
r | \log_a{r} | r | \log_a{r} |
(0,a) | (1,+\infty) | (0,1) | (-\infty,0) |
\{a\} | \{1\} | \{1\} | \{0\} |
(a,1) | (0,1) | (1,a) | (0,1) |
\{1\} | \{0\} | \{a\} | \{1\} |
(1,+\infty) | (-\infty,0) | (a,+\infty) | (1,+\infty) |
a) Pro \log_{12}{3} je základ větší než 1 a zároveň argument je větší než 1. Logaritmus proto nabývá kladné hodnoty.
b) Pro \log_{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}} je základ menší než 1 a zároveň argument je menší než 1. Logaritmus proto nabývá kladné hodnoty.
\log_{7}{\frac{1}{4}} | záporné |
\log_{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}} | kladné |
\log_{2}{0,2} | záporné |
\log_{0,4}{1,3} | záporné |
Na závěr této kapitoly se budeme věnovat dvěma nejčastěji používaným logaritmům - dekadickému a přirozenému.
Dekadický logaritmus je logaritmus o základu 10. Byl využíván zejména v době, kdy se používala logaritmická pravítka a tabulky logaritmů k výpočtům složitějších matematický operací (více se o tom zmíníme v kapitole o využití logaritmů v praxi). Základ 10 nebyl zvolen náhodou, ale vycházel ze skutečnosti, že lidé počítají v desítkové soustavě. Dekadický logaritmus je hojně využíván, a proto se zkrátil jeho zápis. Místo
Přirozený logaritmus je logaritmus se základem e. Číslo e je iracionální (podobně jako číslo \pi) a nazývá se Eulerovo číslo. Jeho přibližná hodnota je 2,71. Tento logaritmus je také hojně využíván, a proto byla pro jeho zápis opět vytvořena zkratka. Místo
Dekadické a přirozené logaritmy jsou často používány, a proto obsahují kalkulačky funkci na počítání těchto logaritmů (ostatní logaritmy můžeme pomocí těchto logaritmů vypočítat, jak bude ukázáno v následující kapitole).
Na kalkulačce zvolíme funkci log nebo ln. Jako argument logaritmu zadáme příslušné číslo.
Zápis řešení:\log{156}= | 2,193~1 |
\log{3,1}= | 0,491~4 |
\ln{24}= | 3,178~1 |
\ln{0,5}= | -0,693~1 |