Logaritmus

Zavedení logaritmu

V matematice se setkáváme se situací, kdy rovnost mezi čísly můžeme vyjádřit různými způsoby. Ukážeme si vztah mezi mocninou a odmocninou:
Z rovnosti 3^2=9 plyne rovnost \sqrt[2]{9}=3,
z rovnosti 5^3=125 plyne rovnost \sqrt[3]{125}=5.

Nyní zavedeme ještě další zápis pro mocninu a^v=r, kde základ a je kladné reálné číslo různé od jedné.

Poznámka
Logaritmus čísla r>0 o základu a>0, a\neq 1 je takové číslo v,
pro které platí: a^v=r.
\log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r.
Zápis \log_a{r}=v čteme "logaritmus r o základu a je v".

Číslo a nazýváme základ logaritmu,
číslo r nazýváme argument logaritmu,
číslo v nazýváme logaritmus.
Logaritmus
Příklad 2.1
Přepište následující rovnosti pomocí definice logaritmu:
  1. a) 2^3=8
  2. b) 3^{(-2)}=\frac{1}{9}
  3. c) 25^{\frac{1}{2}}=5
Řešení

Využijeme definici logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r.
    a)
  • Základ mocniny a=2 použijeme jako základ logaritmu,
  • exponent v=3 jako logaritmus,
  • mocninu r=8 jako argument logaritmu.
  • Zapíšeme výsledek: \log_2{8}=3.
Animace-přepis mocniny pomocí definice logaritmu

Zápis řešení:
  1. a) \log_2{8}=3
  2. b) \log_3{\frac{1}{9}}=-2
  3. c) \log_{25}{5}=\frac{1}{2}
Cvičení 2.1
Přepište následující rovnosti pomocí definice logaritmu:
2^5=32
\log_2{32}=5
10^3=1~000
\log_{10}{1~000}=3
7^0=1
\log_7{1}=0
3^{-3}=\frac{1}{27}
\log_3{\frac{1}{27}}=-3
16^{\frac{1}{4}}=2
\log_{16}{2}=\frac{1}{4}
(\frac{1}{3})^{-2}=9
\log_{\frac{1}{3}}{9}=-2
Výpočet logaritmů

Nejprve se naučíme určovat logaritmy daných základů a argumentů.

Příklad 2.2
Vypočítejte:
  1. a) \log_3{9}
  2. b) \log_2{16}
    1. c) \log_6{\frac{1}{36}}
    2. d) \log_8{2}
    Řešení
      a)
    • Hledané číslo si označíme symbolem ?: \log_3{9}=?.
    • Přepíšeme rovnost pomocí definice logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r tj. 3^?=9.
    • Určíme hledané číslo. Ptáme se, na kolikátou musíme umocnit číslo 3, abychom získali číslo 9.
    • Snadno uhodneme, že hledané číslo je 2, protože 3^2=9.
    • Zapíšeme výsledek: \log_3{9}=2.
    Animace-výpočet logaritmu

    Zápis řešení:
    1. a) \log_3{9}=? \rightarrow 3^?=9 \rightarrow ?=2, proto \log_3{9}=2
    2. b) \log_2{16}=? \rightarrow 2^?=16 \rightarrow ?=4, proto \log_2{16}=4
    3. c) \log_6{\frac{1}{36}}=? \rightarrow 6^?=\frac{1}{36} \rightarrow ?=-2, proto \log_6{\frac{1}{36}}=-2
    4. d) \log_8{2}=? \rightarrow 8^?=2 \rightarrow ?=\frac{1}{3}, proto \log_8{2}=\frac{1}{3}
    Cvičení 2.2
    Vypočítejte:
    \log_7{7}=?
    7^?=7
    ?=1
    \log_7{7}=1
    \log_4{16}=?
    4^?=16
    ?=2
    \log_4{16}=2
    \log_{11}{1}=?
    11^?=1
    ?=0
    \log_{11}{1}=0
    \log_2{\frac{1}{8}}=?
    2^?=\frac{1}{8}
    ?=-3
    \log_2{\frac{1}{8}}=-3
    \log_{\frac{1}{3}}{9}=?
    (\frac{1}{3})^?=9
    ?=-2
    \log_{\frac{1}{3}}{9}=-2
    \log_9{3}=?
    9^?=3
    ?=\frac{1}{2}
    \log_9{3}=\frac{1}{2}
    \log_{\frac{2}{7}}{\frac{7}{2}}=?
    (\frac{2}{7})^?=\frac{7}{2}
    ?=-1
    \log_{\frac{2}{7}}{\frac{7}{2}}=-1
    \log_{\frac{1}{4}}{0,5}=?
    (\frac{1}{4})^?=0,5
    ?=\frac{1}{2}
    \log_{\frac{1}{4}}{0,5}=\frac{1}{2}
    Určování základu a argumentu logaritmu

    Při řešení logaritmických a exponenciálních rovnic bude třeba určit neznámý základ či argument logaritmu. V následujícím příkladu se naučíme základy a argumenty logaritmů počítat.

    Příklad 2.3
    Určete x \in R, aby byla splněna rovnost:
    1. a) \log_x{16}=4
    2. b) \log_8{x}=\frac{1}{3}
    Řešení
      a) Nejprve ukážeme, jak vypočítat základ logaritmu v rovnosti \log_x{16}=4.
    • Přepíšeme rovnost podle definice logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r.
      \log_x{16}=4~~\Leftrightarrow~~x^4=16
    • Řešení této rovnice můžeme uhodnout nebo ji vyřešit odmocněním: x=\sqrt[4]{16}=2.
    • Zapíšeme výsledek: x=2.
    • Poznámka
      b) V rovnosti \log_8{x}=\frac{1}{3} vypočítáme argument logaritmu.
    • Opět přepíšeme rovnost podle definice logaritmu \log_a{r}=v~~\Leftrightarrow~~a^v=r.
      \log_8{x}=\frac{1}{3}~~\Leftrightarrow~~8^{\frac{1}{3}}=x
    • Z této rovnice přímo vidíme, jak vypočítat neznámou x=8^{\frac{1}{3}}=2.
    • Zapíšeme výsledek x=2.
    Zápis řešení:
    1. a) \log_x{16}=4 \rightarrow x^4=16 \rightarrow x=2
    2. b) \log_8{x}=\frac{1}{3} \rightarrow 8^{\frac{1}{3}}=x \rightarrow x=2
    Cvičení 2.3
    Určete x \in R, aby byla splněna rovnost:
    \log_x{8}=1
    x^1=8
    x=8
    \log_3{x}=4
    3^4=x
    x=81
    \log_5{x}=0
    5^0=x
    x=1
    \log_x{\frac{1}{4}}=2
    x^2=\frac{1}{4}
    x=\frac{1}{2}
    \log_x{125}=-3?
    x^{-3}=125
    x=\frac{1}{5}
    \log_{\frac{1}{4}}{x}=-3?
    (\frac{1}{4})^{-3}=x
    x=64
    Vlastnosti logaritmů

    Ve cvičeních 2.2 a 2.3 jsme se setkali s několika příklady, kdy byl logaritmus roven nule nebo jedné. Než začnete číst další odstavec, zkuste se podívat, co měly tyto příklady společného.

    Poznámka

    Již jsme zjistili, kdy je logaritmus roven nule nebo jedné. V následující tabulce přehledně uvedeme, jakých hodnot logaritmus nabývá v závislosti na základu a argumentu logaritmu.

    a \in (0,1) a \in (1,+\infty)
    r \log_a{r} r \log_a{r}
    (0,a) (1,+\infty) (0,1) (-\infty,0)
    \{a\} \{1\} \{1\} \{0\}
    (a,1) (0,1) (1,a) (0,1)
    \{1\} \{0\} \{a\} \{1\}
    (1,+\infty) (-\infty,0) (a,+\infty) (1,+\infty)
    Příklad 2.4
    Rozhodněte, zda je logaritmus kladné nebo záporné číslo:
    1. a) \log_{12}{3}
    2. b) \log_{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}}
    Řešení
    Ukážeme nejprve obecně platný postup, který využívá výše zmíněnou tabulku. Nejprve se podíváme, jaký je základ logaritmu:
    • Základ je z intervalu (0,1).
      • Je-li argument menší než jedna, je logaritmus kladné číslo.
      • Je-li argument větší než jedna, je logaritmus záporné číslo.
    • Základ je z intervalu (1,+\infty).
      • Je-li argument menší než jedna, je logaritmus záporné číslo.
      • Je-li argument větší než jedna, je logaritmus kladné číslo.

    a) Pro \log_{12}{3} je základ větší než 1 a zároveň argument je větší než 1. Logaritmus proto nabývá kladné hodnoty.

    b) Pro \log_{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}} je základ menší než 1 a zároveň argument je menší než 1. Logaritmus proto nabývá kladné hodnoty.

    Cvičení 2.4
    Rozhodněte, zda je logaritmus kladné nebo záporné číslo:
    \log_{7}{\frac{1}{4}}
    záporné
    \log_{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}}
    kladné
    \log_{2}{0,2}
    záporné
    \log_{0,4}{1,3}
    záporné
    Dekadický a přirozený logaritmus

    Na závěr této kapitoly se budeme věnovat dvěma nejčastěji používaným logaritmům - dekadickému a přirozenému.

    Dekadický logaritmus je logaritmus o základu 10. Byl využíván zejména v době, kdy se používala logaritmická pravítka a tabulky logaritmů k výpočtům složitějších matematický operací (více se o tom zmíníme v kapitole o využití logaritmů v praxi). Základ 10 nebyl zvolen náhodou, ale vycházel ze skutečnosti, že lidé počítají v desítkové soustavě. Dekadický logaritmus je hojně využíván, a proto se zkrátil jeho zápis. Místo \log_{10} se používá zkrácený zápis \log.

    Přirozený logaritmus je logaritmus se základem e. Číslo e je iracionální (podobně jako číslo \pi) a nazývá se Eulerovo číslo. Jeho přibližná hodnota je 2,71. Tento logaritmus je také hojně využíván, a proto byla pro jeho zápis opět vytvořena zkratka. Místo \log_{e} se používá zkrácený zápis \ln.

    Pro libovolné x\in R^+ zapisujeme
    \log_{10}{x}=\log{x},
    \log_{e}{x}=\ln{x}.

    Dekadické a přirozené logaritmy jsou často používány, a proto obsahují kalkulačky funkci na počítání těchto logaritmů (ostatní logaritmy můžeme pomocí těchto logaritmů vypočítat, jak bude ukázáno v následující kapitole).

    kalkulačka
    Příklad 2.5
    Na kalkulačce vypočítejte a zaokrouhlete na čtyři desetinná místa:
    1. a) \log{25}
    2. b) \ln{7}
    Řešení

    Na kalkulačce zvolíme funkci log nebo ln. Jako argument logaritmu zadáme příslušné číslo.

    Animace-přepis mocniny pomocí definice logaritmu

    Zápis řešení:
    1. a) \log{25}=1,397~9
    2. b) \ln{7}=1,945~9
    Cvičení 2.5
    Na kalkulačce vypočítejte a zaokrouhlete na čtyři desetinná místa:
    \log{156}=
    2,193~1
    \log{3,1}=
    0,491~4
    \ln{24}=
    3,178~1
    \ln{0,5}=
    -0,693~1