Logartimické rovnice - úlohy

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_4(3x-2)=2

Řešení

• Definiční obor rovnice D=(\frac{2}{3},+\infty ).
• Převedeme číslo 2 na logaritmus o základu 4: 2=\log_4 16.
• Porovnáme argumenty a rovnici 3x-2=16~ vyřešíme.
• Číslo 6 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{6\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_2 \log_3 (x-5)=2

Řešení

• Definiční obor rovnice neurčíme a na konci příkladu provedeme zkoušku.
• Poprvé porovnáme argumenty a vznikne rovnice:
  \log_3 (x-5)= 4.
• Podruhé porovnáme argumenty a vznikne rovnice:
  x-5=81~, kterou vyřešíme.
• Protože L(86)=P(86)~, je číslo 86 řešením rovnice : K=\{86\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_7(2x+4)-\log_7(x-3)=1

Řešení

• Definiční obor rovnice D=(3,+\infty).
• Upravíme výraz na levé straně rovnice pomocí logaritmických vět:
  \log_7\frac{2x+4}{x-3}=\log_7 7.
• Porovnáme argumenty logaritmů a rovnici vyřešíme.
• Číslo 5 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{5\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

2\log_3\frac{x-7}{x-1}=\log_3 2 - \log_3 \frac{x-1}{x+1}

Řešení

• Definiční obor rovnice D=(-\infty,-1)\cup(7,+\infty).
• Upravíme výrazy na obou stranách rovnice pomocí logaritmických vět:
  \log_3(\frac{x-7}{x-1})^2=\log_3 2\frac{x+1}{x-1}.
• Porovnáme argumenty logaritmů a rovnici vyřešíme.
• Číslo -17 neleží v definičním oboru rovnice, ale číslo 3 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{5\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\frac{1}{5-\log_2(x-1)}+\frac{2}{1+\log_2(x-1)}=1

Řešení

• Definiční obor rovnice D=(1,\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2},33)\cup(33,+\infty).
• Zavedeme substituci \log_2(x-1)=a:
  \frac{1}{5-a}+\frac{2}{1+a}=1.
• Řešením této rovnice jsou čísla a_1=3, a_2=2.
• Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_2(x-1)~ a rovnice vyřešíme.
• Číslo 9 i číslo 5 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{5,9\}.
• Zápis řešení:
  

Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_x9+\log_9x=\log_3 x

Řešení

• Definiční obor rovnice D=(0,1)\cup(1,+\infty).
• Všechny výrazy upravíme pomocí věty o podílu logaritmů na logaritmy o základu 3:
  \frac{\log_3 9}{\log_3 x}+\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\log_3 x.
• Zavedeme substituci \log_3 x=a:
  \frac{2}{a}+\frac{a}{2}=a.
• Řešením této rovnice jsou čísla a_1=2, a_2=-2.
• Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_3 x~ a rovnice vyřešíme.
• Číslo 9 i číslo \frac{1}{9} leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{\frac{1}{9},9\}.
• Zápis řešení: