Speciální případy logaritmických rovnic
V této kapitole ukážeme, jak řešit složitější typy logaritmických rovnic. Nebudeme zavádět žádné další metody řešení logaritmických rovnic. Budeme kombinovat několik úprav, které jsme zavedli v předchozích kapitolách, až získáme rovnici, kterou umíme vyřešit.
První příklad obsahuje další rovnici, ve které se vyskytuje neznámá v argumentu logaritmu i v exponentu mocniny.
Řešte rovnici s neznámou x \in R:
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x>0.
- Definiční obor rovnice D=(0,+\infty).
- Tento příklad budeme řešit vhodnou substitucí. Pokusíme se rovnici upravit tak, abychom mohli substituovat výraz
3^{\log_5 x}. Upravíme výraz na pravé straně rovnice:
3^{\log_5 x +1}=3^{\log_5 x}\cdot 3^1=3\cdot3^{\log_5 x}. - V rovnici 3^{\log_5 x}+45=2\cdot 3\cdot 3^{\log_5 x} nahradíme všechny výrazy 3^{\log_5 x} novou neznámou a.
- Rovnici a+45=6a s neznámou a \in R vyřešíme.
- Řešením rovnice je a=9.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem 3^{\log_5 x}.
- Rovnici 3^{\log_5 x}=9 vyřešíme.
- Nejprve porovnáme exponenty v rovnici 3^{\log_5 x}=3^2.
- Nakonec rovnici \log_5 x=2 vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením je x=25.
- Číslo 25 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{25\}.
Zápis řešení:
V dalším příkladu budeme převádět všechny logaritmy na vhodný základ. Stačí ve vhodném pořadí aplikovat věty o logaritmech, a tím rovnici zjednodušit.
Řešte rovnici s neznámou x \in R:
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky
125x>0, x>0 a x\neq 1. - Definiční obor rovnice D=(0,1)\cup(1,+\infty).
- Nejprve se pokusíme oba logaritmy na levé straně rovnice zjednodušit. Protože všechna čísla obsažená v argumentech i základech logaritmu jsou mocniny čísla 5, převedeme oba logaritmy na logaritmy o základu 5:
L(x)=\log_x 125x \cdot \log^2_{25} x = \frac{\log_5 125x}{\log_5 x}\cdot\frac{(\log_5 x)^2}{(\log_5 25)^2}. - Vidíme, že jmenovatel prvního zlomku lze krátit s čitatelem druhého zlomku:
L(x)= \frac{\log_5 125x}{\log_5 x}\cdot\frac{(\log_5 x)^2}{(\log_5 25)^2}=\frac{\log_5 125x}{1}\cdot\frac{\log_5 x}{(\log_5 25)^2}. - Na první čitatel zlomku aplikujeme větu o logaritmu součinu a určíme logaritmy, které neobsahují neznámou:
L(x)=\frac{\log_5 125x}{1}\cdot\frac{\log_5 x}{(\log_5 25)^2}=(\log_5 125 + \log_5 x)\cdot\frac{\log_5 x}{2^2}=(3 + \log_5 x)\cdot\frac{\log_5 x}{4}. - V rovnici (3 + \log_5 x)\cdot\frac{\log_5 x}{4}=1 nahradíme všechny výrazy \log_5 x novou neznámou a.
- Rovnici (3+a)\frac{a}{4}=1 s neznámou a \in R vyřešíme.
- Řešením rovnice jsou čísla a_1=-4, a_2=1.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_5 x.
- Rovnice \log_5 x_1=-4, \log_5 x_2=1 vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením jsou čísla x_1=\frac{1}{5^4}, x_2=5.
- Obě čísla leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{\frac{1}{5^4},5\}.
Zápis řešení:
Poslední příklad, jehož řešení si ukážeme, obsahuje dva logaritmy, v jejichž argumentu se vyskytuje další logaritmus. Opět je nutné aplikovat věty o logaritmech a ve vhodný okamžik použít substituci.
Řešte rovnici s neznámou x \in R:
- Abychom určili definiční obor této tovnice, museli bychom řešit logaritmické nerovnice. Proto definiční obor určovat nebudeme a na konci příkladu uděláme zkoušku.
- V tomto příkladu se musíme vypořádat s "dvojitými logaritmy". Jedna z možností je substituovat vnitřní logaritmus novou neznámou. Upravíme proto výraz \log_{\frac{1}{2}}\log_2 2\sqrt{2}x tak, abychom mohli substituovat výraz \log_2 x:
\log_{\frac{1}{2}}\log_2 2\sqrt{2}x = \log_{\frac{1}{2}}(\log_2 2\sqrt{2}+ \log_2 x). - V rovnici 2\log_2\log_2 x + \log_{\frac{1}{2}}(\log_2 2\sqrt{2}+ \log_2 x) = 1 již můžeme substituovat výraz
\log_2 x novou neznámou a. - Získáme novou logaritmickou rovnici 2\log_2 a + \log_{\frac{1}{2}}(\log_2 2\sqrt{2}+ a) = 1 s neznámou
a \in R . - Převedeme logaritmus se základem \frac{1}{2} na logaritmus o základu 2 a výraz upravíme:
\log_{\frac{1}{2}}(\log_2 2\sqrt{2}+ a) = \frac{\log_2(\frac{3}{2}+a)}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2(\frac{3}{2}+a)}{-1}=-\log_2(\frac{3}{2}+a). - Výraz na levé straně rovnice upravíme pomocí věty o logaritmu součinu:
L(x)=2\log_2 a -\log_2(\frac{3}{2}+a) = \log_2 \frac{a^2}{\frac{3}{2}+a}. - V rovnici \log_2 \frac{a^2}{\frac{3}{2}+a}=1 porovnáme argumenty.
- Získáme rovnici \frac{a^2}{\frac{3}{2}+a}=2, kterou vyřešíme.
- Řešením rovnice jsou čísla a_1=3, a_2=-1.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_2 x.
- Rovnice \log_2 x_1=3, \log_2 x_2=-1 vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením jsou čísla x_1=8, x_2=\frac{1}{2}, pro která musíme udělat zkoušku:
L(8)=2\log_2\log_2 8 + \log_{\frac{1}{2}}\log_2 4\sqrt{2}=2\log_2 3 + \log_{\frac{1}{2}}\frac{9}{2}=
=\log_2 9 - \log_2\frac{9}{2}=\log_2\frac{9\cdot 2}{9}=1.
P(8)=1
L(\frac{1}{2})=2\log_2\log_2 \frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}\log_2 \sqrt{2}=2\log_2(-1) + ... Nedefinovaný výraz.
- L(8)=P(8) , proto číslo 8 je řešením rovnice. L(\frac{1}{2}) je nedefinovaný výraz, proto číslo\frac{1}{2} není řešením rovnice. Množina všech kořenů K=\{8\}.
Zápis řešení:
