Konstrukční úlohy

Množiny bodů dané vlastnosti

Nedílnou součástí řešení konstrukčních úloh je využívání množin bodů dané vlastnosti. Jedná se o množiny bodů v rovině (lze případně i v prostoru). V této množině jsou všechny body, které mají danou vlastnost, a žádné jiné. Příkladem může být kružnice, což je množina všech bodů, které mají od jistého bodu (středu) danou vzdálenost (poloměr). Symbolicky zapisujeme M = {Xρ; φ(X)}, kde φ je výrok.

Úvod do konstrukčních úloh

Konstrukční úloha je příklad, jehož řešením je geometrický útvar se zadanými vlastnostmi sestrojený pomocí pravítka, kružítka a případně i úhloměru. Při řešení těcto úloh se využívá jak množin bodů dané vlastnosti a množinových operací, tak geometrických vět. Obecně dělíme konstrukční úlohy na polohové, kde je sestrojovaný obrazec jednoznačně určen svou polohou, a nepolohové, u kterých lze daný obrazec sestrojit kdekoliv. Nepolohové úlohy se převádějí na polohové vhodným pevným zvolením určujících prvků.

Příkladem nepolohové úlohy je sestrojit trojúhelník o daných délkách stran. Ekvivalentní polohová úloha je například najít třetí vrchol trojúhelníku, známe-li dva vrcholy a délky stran. Zmíněnou nepolohovou úlohu na polohovou změníme, když v rovině pevně umístíme jednu ze stran trojúhelníku.

Správnými kroky řešení konstrukční úlohy jsou rozbor, popis konstrukce, konstrukce samotná a závěr společně s diskuzí. Rozborem se myslí nástin řešení, popis konstrukce je potom konkrétní zápis kroků, podle kterých se bude konstrukce provádět. Závěr a diskuze, popřípadě zkouška, nakonec ověří správnost konstrukce a v závislosti na zadání prověří počet řešení, přičemž uvažujeme všechna řešení v rovině.

Některé kroky při řešení konstrukčních úloh považujeme za základní a není nutné je tedy rozepisovat, např. vztyčení kolmice, sestrojení rovnoběžky nebo osy úhlu.

Práce s applety

Řešení následujících příkladů je doplněno o applety CabriJava, pomocí nichž lze měnit zadání a tedy i výsledné obrazce. S délkami stran nebo velikostmi úhlů lze interaktivně pracovat a výsledky se tedy v závislosti na zadání ihned přetvářejí. Případný postup konstrukce je možné sledovat dvojklikem na applet, kdy se objeví v dolní části okna posunovací lišta. Podrobný popis pro práci s applety zde (kapitola CabriJava - ovládání).

V appletech se místo indexů používá znak "_" (podtržítko). V příkladech na kostrukci délek místo odmocniny anglická zkratka sqrt (square root), místo mocniny znak "^" (stříška).