Výšky

Výšku v trojúhelníku chápeme jako úsečku spojující vrchol s patou kolmice na protější stranu, která daným vrcholem prochází. Lze tak ale i celou tuto kolmici. Například výška v_a na stranu a trojúhelníku ABC je úsečka spojující vrchol A s jeho kolmým průmětem P_a do přímky BC nebo přímka AP_a. Tyto průměty nazýváme paty výšek. Je-li ABC ostroúhlý, jsou paty všech tří výšek vnitřními body stran trojúhelníku. V případě pravoúhlého trojúhelníku jsou paty dvou výšek shodné s jedním z vrcholů. Pokud je ABC tupoúhlý, nenáleží paty stranám samotným, ale přímkám, na nichž strany leží.

Důkaz tvrzení, stejně jako u těžnic, plyne ze stejnolehlosti se středem v těžišti a koeficientem -½, v němž se výšky zobrazí na osy stran, které se v jednom bodě protínají. Pokud je ABC ostroúhlý, je O vnitřním bodem trojúhelníku, jestliže je pravoúhlý, splývá ortocentrum s jedním z vrcholů, v případě tupoúhlého trojúhleníku leží O vně.