Euklidova věta o výšce

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C se stranami a, b, c (a, b jsou odvěsny, c je přepona) platí:

v_c² = c_a . c_b,

kde c_a, c_b jsou délky úseků přepony rozdělené patou P_c výšky v_c na stranu c.

Euklidova věta o odvěsně

Ve stejně označeném trojúhelníku jako u věty o výšce pro odvěsny platí:

a² = c . c_a,   b² = c . c_b

Stejně jako Pythagorova věta jsou věty Euklidovy ekvivalencemi. Pokud pro nějaký trojúhelník jedna z vět platí, potom je jistě pravoúhlý.

Důkaz: Výška v_c rozděluje ABC na dva trojúhelníky, jejichž vnitřní úhly mají stejnou velikost jako trojúhelník původní. A protože jsou také pravoúhlé, je možné z nich zjistit hodnoty goniometrických funkcí, které se budou rovnat. Dojdeme tedy k následujícím rovnostem:

z nichž už odvodíme původní vzorce.