Sinová věta

Pro každý trojúhelník ABC se stranami a, b, c a vnitřními úhly α, β, γ platí:

kde r je poloměr kružnice opsané.

Důkaz: První rovnost (z níž se dá cyklicky odvodit i ta druhá) dokážeme pomocí výšky v_c. V případech, že jsou oba úhly ostré nebo že jeden z nich (β) je pravý, bude platit rovnost:

a.sinβ = v_c = b.sinα,

z nenulovosti délek stran plyne dělením původní rovnost.

Pokud je jeden z úhlů (β) tupý, bude předchozí vzorec vypadat takto:

a.sin(π-β) = v_c = b.sinα,

což ale z vlastností funkce sinus vede k předchozímu případu.

Pro poslední rovnost postupně označme δ, ε, φ vnitřní úhly trojúhelníků AS_oB, AS_oC, BS_oC při vrcholech původního trohúhelníku ABC. Z rovností

2(δ + ε + φ) = π,   ε + φ = γ

plyne δ + γ = π/2. Postupně se dostáváme k počáteční rovnosti:

c = 2r.cosδ = 2r.cos(π/2 - γ) = 2r.sinγ