Substitúcia na kvadratickú rovnicu

Pomocou ďalšiej jednoduchej substitúcie prevedieme zložitejšiu goniometrickú rovnicu, ktorá obsahuje goniometrickú funkciu, v druhej alebo vo štvrtej mocnine, na kvadratickú rovnicu. Pri tomto type úloh často využívame goniometrické vzorce.

Príklad 1

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

2\cos^2 x -\cos x -1 = 0

Riešenie

Zavedieme substitúciu y=\cos x.

Platí: 2y^2 -y -1 = 0

Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice ax^2+bx+c = 0 pomocou znamého vzorca:

D = b^2 - 4ac

V našom prípade:

D=(-1)^2 -4\cdot2\cdot(-1)

D=9

Určíme riešenie kvadratickej rovnice pomocou vzorca

y_{1,2}={-b\pm\sqrt{D}\over 2a}; y_{1,2}={1\pm3\over 4}.

Čiže y_1=1; y_2=-{1\over 2} Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.kvad.inc on line 23 .

Vrátime sa k substitúcií y=\cos x

Platí \cos x_1=1, čiže x_1=0+2k\pi.

Ďalej \cos x_2=-{1\over 2}, takže x_2={2 \over 3}+2k\pi; {4\over 3}+2k\pi (vidno z grafu).

Riešenie zapíšeme v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{2k\pi; \frac{2}{3}{\pi}+2k\pi; \frac{4}{3}{\pi}+2k\pi \}\;.


Príklad 2

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

2\cos^2 x -3 = 3\sin x

Riešenie

2(1-\sin^2 x) -3 - 3\sin x=0 (Využili sme základný vzorec \cos^2 x + \sin^2 x=1.)

2\sin^2 x +3\sin x +1 = 0

Zavedieme substitúciu a=\sin x.

Platí: 2a^2 +3a +1 = 0.

Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice a určíme riešenia rovnice podobne ako v predchádzajúcom príklade.

D=3^2 -4\cdot2\cdot 1

D=1

Riešenia kvadratickej rovnice teda sú:

a_{1,2}={-3\pm1\over 4}, čiže a_1=-1; a_2=-{1\over 2} Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.kvad.inc on line 46

Vrátime sa k substitúcií a=\sin x

V prvom prípade dostávame \sin a_1 = -1 \Rightarrow a_1={3\over 2}\pi +2k\pi.

V prvom prípade je \sin a_2 = -{1\over2} \Rightarrow a_2={7\over 6}\pi +2k\pi; {11\over 6}\pi +2k\pi.

(Riešenie je vidieť z grafu a z tabuľkových hodnôt, postupujeme podobne ako v príkladoch predchádzajúcej kapitoly.)

Výsledné riešenie zapíšeme v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{3}{2}{\pi}+2k\pi; \frac{7}{6}{\pi}+2k\pi; \frac{11}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.


Príklad 3

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

{\rm tg^2}\: x +3{\rm cotg^2}\: x = 4

Riešenie

Použijeme vzorce {\rm tg}\: x = \large{\sin x \over \cos x} a {\rm cotg}\: x = \large{\cos x \over \sin x}.

\large{\sin^2 x \over \cos^2 x} +3\large{\cos^2 x \over \sin^2 x} = 4

Aby výrazy v rovnici boli definované, musí platiť podmienka:

\cos^2 x \not= 0 \Rightarrow x \not= {\pi \over 2}+k\pi ; \sin^2 x \not= 0 \Rightarrow x \not= k\pi

Upravíme rovnicu do najjednoduchšieho tvaru s využitím spoločného menovateľa:

\sin^4 x +3\cos^4 x = 4\cos^2 x \sin^2 x

\sin^4 x +3\cos^4 x = 4\cos^2 x (1-\cos^2 x)\ (Využili sme základný vzorec \cos^2 x + \sin^2 x=1.)

\sin^4 x +3\cos^4 x = 4\cos^2 x - 4\cos^4 x\ (Platí, že \sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1-\cos^2 x)^2)

(1-\cos^2 x)^2 + 7\cos^4 x -4\cos^2 x=0

1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x + 7\cos^4 x -4\cos^2 x = 0

8\cos^4 x - 6\cos^2 x + 1 = 0

Zavedieme substitúciu \cos^2 x = t a dostaneme:

8t^2 - 6t +1 = 0

Vyriešime kvadratickú rovnicu (vypočítame diskriminant a určíme korene kvadratickej rovnice, vzorce pre výpočet diskriminantu a koreňov kvadratickej rovnice sú uvedené v prvom príklade tejto kapitoly).

D=(-6)^2 -4\cdot8\cdot 1

D=4

Riešenia kvadratickej rovnice teda sú:

t_{1,2}={6\pm 2\over 2\cdot 8}, čiže t_1={1\over 2}; t_2={1\over 4}

Vrátime sa k substitúcií \cos^2 x = t a po dosadení za t dostaneme:

\cos^2 x_1 ={1 \over 2} Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.kvad.inc on line 81

Z grafu a využitím periodičnosti funkcie kosínus dostávame koreň pre x_1:

\cos^2 x_1 ={1 \over 2} \Rightarrow \cos x_1 = \pm {1 \over \sqrt{2}} = \pm {\sqrt{2} \over 2} \Rightarrow x_1 = {\pi \over 4} + k\pi; x_2 = {3\pi\over 4 } + k\pi = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2}, k \in \mathbb{Z}

V druhom prípade dostávame pre x_2 :

\cos^2 x_1 ={1 \over 2} Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.kvad.inc on line 86

\cos^2 x_2 ={1 \over 4} \Rightarrow \cos x_2 = \pm {1 \over 2} \Rightarrow x_2 = {\pi \over 3} + k\pi; x_2 = {2\over 3 \pi} + k\pi, k \in \mathbb{Z}

Výsledné riešenie zapíšeme v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{1}{4}{\pi}+k{\pi \over 2}; \frac{1}{3}{\pi}+k\pi; \frac{2}{3}{\pi}+k\pi \}\;.