Hyperbolické funkcie

Definice

Funkcia {\rm sinh}\: x (čítame hyperbolický sínus), {\rm cosh}\: x (čítame hyperbolický kosínus), {\rm tgh}\: x (čítame hyperbolický tangens) sú pre každé reálne x definované takto:

\sinh x = \frac {\large e^x - \large e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac {\large e^x + \large e^{-x}}{2}, \quad {\rm tgh}\: x = \frac {\large e^x - \large e^{-x}}{\large e^x + \large e^{-x}} = \large\frac {\sinh x} {\cosh x}.

Pre x \neq 0 je funkcia {\rm cotgh}\: x (čítame hyperbolický kotangens) definovaná vzťahom

{\rm cotgh}\: x = \frac {\large e^x + \large e^{-x}}{\large e^x - \large e^{-x}} = \large\frac {1} {{\rm tgh}\: x}.


Základné vlastnosti hyperbolických funkcií

V tabuľke je uvedený prehľad základných vlastnosti hyperbolických funkcií.

Hyperbolická funkcia

{\rm sinh}\: x

{\rm cosh}\: x

{\rm tgh}\: x

{\rm cotgh}\: x

Definičný obor

\mathbb{R}

\mathbb{R}

\mathbb{R}

(-\infty, 0)\cup (0, \infty)

Obor funkčných hodnôt

\mathbb{R}

\left \langle 1, \infty \right)

(-1, 1)

(-\infty, -1)\cup (1, \infty)

Monotónnosť

rastúca na celom \mathbb{R}

rastúca na intervale \left \langle 0, \infty \right) a klesajúca na intervale \left (-\infty, 0 \right \rangle

rastúca na celom \mathbb{R}

klesajúca na intervale(-\infty, 0)\cup (0, \infty)



Veta

Pre hyperbolické funkcie platí:

1. \sinh\ x, {\rm cotgh}\: x a {\rm tgh}\: x sú nepárne funkcie.

2. {\rm cosh}\: x je párna funkcia.

Poznámka

V dôkaze týchto viet využívame vlastnosť párnej funkcie:

f(x) = f(-x),

alebo nepárnej funkcie:

f(-x) = -f(-x).

Grafy hyperbolických funkcií a ďalších funkcií

Poznámka

Grafy hyperbolických funkcií sú vytvorené pomocou programu GeoGebra, kde sa používa iné značenie hyperbolických funkcií. Preto napríklad funkcia {\rm tgh}\: x sa v GeoGebre značí ako {\rm tanh}\: x.

Hyperbolický sínus

V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie hyperbolický sínus.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.hyperbolicke_funkcie.inc on line 210

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm sinh}\: x (b\cdot x + c) + d.

Poznámka

Grafy funkcií sú zobrazované pomocou apletu. V jednotlivých apletoch je možné pomocou posuvníkov meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d a všimnuť si tak správanie funkcií pri rôznych zmenách.

V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Hyperbolický kosínus

Obecný graf funkcie hyperbolický kosínus.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.hyperbolicke_funkcie.inc on line 264

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm cosh}\: x (b\cdot x + c) + d.

V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Hyperbolický tangens

Obecný graf funkcie hyperbolický tangens.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.hyperbolicke_funkcie.inc on line 310

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm tgh}\: x (b\cdot x + c) + d.

V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Hyperbolický kotangens

Obecný graf funkcie hyperbolický kotangens.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.hyperbolicke_funkcie.inc on line 356

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm cotgh}\: x (b\cdot x + c) + d.

V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Veta

Pre hyperbolické funkcie platí:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \ (x \in \mathbb{R}),

1 - {\rm tgh^2}\: x = \frac {\Large 1}{\Large {\rm cosh^2}\: x} (x \in \mathbb{R}) ,

{\rm cotgh^2}\: x - 1 = \frac {\Large 1}{\Large{\rm sinh^2}\: x}\ (x \not = 0).

Poznámka

Dôkaz tejto vety plynie zo základnej definicie hyperbolických funkcií. Postupnou úpravou dostávame požadované výsledky.