Goniometrické funkcie

Základné vlastnosti goniometrických funkcií

V tabuľke je uvedený prehľad základných vlastnosti goniometrických funkcií, ktoré využívame pri riešeni príkladov. Hodnoty argumentov uvádzame väčšinou v oblúkovej miere.

Goniometrická funkcia

\sin x

\cos x

{\rm tg}\: x

{\rm cotg}\: x

Definičný obor

\mathbb{R}

\mathbb{R}

\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left ( -{\pi \over 2} + k\pi; {\pi \over 2} + k\pi \right )

\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left ( k\pi; (k+1)\pi \right )

Obor funkčných hodnôt

\left \langle -1; 1 \right \rangle

\left \langle -1; 1 \right \rangle

\mathbb{R}

\mathbb{R}

Najmenšia perióda

2\pi

2\pi

\pi

\pi

Grafy goniometrických a ďalších funkcií

Poznámka

Grafy funkcií sú zobrazené na intervale <-2\pi; 2\pi>.

Sínus

V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie sínus.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.goniometricke_funkcie.inc on line 111

Graf funkcie y = \sin x nazývame sínusoida.

Zo sínusoidy môžme prečítať jej základné vlastnosti a porovnať ich tak s tabuľkou uvedenou na začiatku tejto kapitoly.

Funkcia f(x)= a \cdot \sin (b\cdot x + c) + d.

Takáto funkcia sa nazýva harmonická. V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Je dôležité si všimnuť ako sa mení samotný graf pri rôznych zmenach parametrov.


Kosínus

V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie kosínus.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.goniometricke_funkcie.inc on line 169

Graf funkcie y = \cos x nazývame kosínusoida.

Z kosínusoidy môžme prečítať základné vlastnosti funkcie kosínus a porovnať ich tak s tabuľkou uvedenou na začiatku tejto kapitoly.

Funkcia f(x)= a \cdot \cos (b\cdot x + c) + d.

Takáto funkcia sa nazýva harmonická. V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Opäť je dôležité si všimnuť správanie grafu funkcie pri rôznych zmenach parametrov.


Tangens

V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie tangens.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.goniometricke_funkcie.inc on line 225

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm tg}\: (b\cdot x + c) + d.

V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

V prípade, že parametre a = 1, b = 1, c = 0, d = 0 dostávame obecný graf funkcie tangens. Pri týchto apletoch je dôležité si všimnuť chovanie funkcie pri zmenách jednotlivých parametrov. Napríklad v špecialnom prípade, kde koeficient pri parametre b je nulový, dostávame konštantnú funkciu.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Kotangens

Obecný graf funkcie kotangens je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.goniometricke_funkcie.inc on line 285

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm cotg}\: (b\cdot x + c) + d.

V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d.

V prípade, že parametre a = 1, b = 1, c = 0, d = 0 dostávame obecný graf funkcie kotangens. Pri týchto apletoch je dôležité si všimnuť chovanie funkcie pri zmenách jednotlivých parametrov. Napríklad v špecialnom prípade, kde koeficient pri parametre b je nulový, dostávame konštantnú funkciu.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Prehľad základných tabuľkových hodnôt

0

{\Large \pi \Large \over \large 6}

{\Large \pi \Large \over \large 4}

{\Large \pi \Large \over \large 3}

{\Large \pi \Large \over \large 2}

\pi

{\Large 3\pi \Large \over \large 2}

2\pi

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

\sin x

0

\Large {1 \over 2}

\Large {\sqrt{2} \Large \over 2}

\Large {\sqrt{3} \Large \over 2}

1

0

-1

0

\cos x

1

\Large {\sqrt{3} \Large \over 2}

\Large {\sqrt{2} \Large \over 2}

\Large {1 \over 2}

0

-1

0

1

{\rm tg}\: x

0

\Large {\sqrt{3} \Large \over 3}

1

\sqrt{3}

*

0

*

0

{\rm cotg}\: x

*

\sqrt{3}

1

\Large {\sqrt{3} \Large \over 3}

0

*

0

*

Poznámka

Symbol * znamená, že pre dané x nie je funkcia definovaná.