Cyklometrické funkcie

Jedná sa o funkcie \arcsin x (čítame arkussínus), \arccos x (čítame arkuskosínus), {\rm arctg}\: x (čítame arkustangens), {\rm arccotg}\: x (čítame arkuskotangens), ktoré sú inverzné k funkciam goniometrickým.

Poznámka

Bližšie informácie o inverznej funkcií môžme nájsť v diplomovej práci Funkce.


Funkcie arkussínus a arkuskosínus

Definice

Inverzná funkcia k funkcii sínus, ktorá je definovaná na intervale <-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}>, sa nazýva arkussínus, zapisujeme y = {\rm arcsin}\: x. Pričom platí x = \sin y, kde -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}.

Poznámka

Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkussínus nedefinuje.

Definice

Inverzná funkcia k funkcii kosínus, ktorá je definovaná na intervale <0; \pi>, sa nazýva arkuskosínus, zapisujeme y = {\rm arccos}\: x. Pričom platí x = \cos y, kde 0 \leq y \leq \pi.

Poznámka

Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkuskosínus nedefinuje.

Základné vlastnosti cyklometrických funkcií arkussínus a arkuskosínus

V nasledujúcej tabuľke si môžme všimnuť vlastnosti goniometrických funkcií (s ohraničeným definičným oborom) a k nim inverzným cyklometrickým funkciam.

Funkcia

\sin x

\arcsin x

\cos x

\arccos x

Definičný obor

<-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2}>

<-1;\ 1>

<0;\ \pi>

<-1;\ 1>

Obor funkčných hodnôt

<-1;\ 1>

<-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2}>

<-1;\ 1>

<0;\ \pi>

Monotónnosť

funkcia je rastúca

funkcia je rastúca

funkcia je klesajúca

funkcia je klesajúca


Funkcie arkustangens a arkuskotangens

Definice

Inverzná funkcia k funkcii tangens, ktorá je definovaná pre každé x \in \mathbb{R}, sa nazýva arkustangens, zapisujeme y = {\rm arctg}\: x. Pričom platí x = {\rm tg}\: y, kde -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.

Poznámka

Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkustangens nedefinuje.

Definice

Inverzná funkcia k funkcii kotangens, ktorá je definovaná pre každé x \in \mathbb{R}, sa nazýva arkuskotangens, zapisujeme y = {\rm arccotg}\: x. Pričom platí x = {\rm cotg}\: y, kde 0 < y < \pi.

Poznámka

Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkuskotangens nedefinuje.

Základné vlastnosti cyklometrických funkcií arkustangens a arkuskotangens

V nasledujúcej tabuľke si môžme všimnuť vlastnosti goniometrických funkcií (s ohraničeným definičným oborom) a k nim inverzným cyklometrickým funkciam.

Funkcia

{\rm tg}\: x

{\rm arctg}\: x

{\rm cotg}\: x

{\rm arccotg}\: x

Definičný obor

(-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2})

\mathbb{R}

(0;\ \pi)

\mathbb{R}

Obor funkčných hodnôt

\mathbb{R}

(-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2})

\mathbb{R}

(0;\ \pi)

Monotónnosť

funkcia je rastúca

funkcia je rastúca

funkcia je klesajúca

funkcia je klesajúca

Grafy cyklometrických a ďalších funkcií

Poznámka

Grafy cyklometrických funkcií sú vytvorené pomocou programu GeoGebra, kde sa používa iné značenie cyklometrických funkcií. Preto napríklad funkcia {\rm arcsin}\: x sa v GeoGebre značí ako {\rm asin}\: x.

Arkussínus

V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie arkus sínus.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 388

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arcsin}\: (b\cdot x + c) + d.

Poznámka

Grafy cyklometrických funkcií sú zobrazované pomocou apletu. V jednotlivých apletoch je možné pomocou posuvníkov meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d. Je dôležité si všímať práve tieto zmeny a uvedomiť si, ako vplýva každý parameter na danú funkciu.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Arkuskosínus

V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie arkuskosínus.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 435

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arccos}\: (b\cdot x + c) + d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Arkustangens

Obecný graf funkcie arkustangens je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 474

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arctg}\: (b\cdot x + c) + d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Arkuskotangens

Obecný graf funkcie arkuskotangens je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 512

Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arccotg}\: (b\cdot x + c) + d.

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Veta

Pre cyklometrické funkcie platí:

\arcsin 0 = 0,\quad \arcsin \frac {1}{2} = \frac {\pi}{6},\quad \arcsin 1 = \frac {\pi}{2},\quad \arcsin (-1) = -\frac {\pi}{2};

\arccos 0 = \frac{\pi}{2},\quad \arccos \frac {1}{2} = \frac {\pi}{3},\quad \arccos 1 = 0,\quad \arccos (-1) = \pi;

\rm arctg\ 0 = 0,\quad \rm arctg\ 1 = \frac {\pi}{4};

\rm arccotg\ 0 = \frac{\pi}{2},\quad \rm arccotg\ 1 = \frac{\pi}{4}.

Poznámka

Dôkaz tejto vety je trivialny, vychádza z vlastnosti inverzných funkcií. Napríklad \arcsin 1 = \frac {\pi}{2}, lebo \sin \frac {\pi}{2} = 1. Podobne postupujeme v ostatných prípadoch.