Substitúcia na základný typ

Pomocou jednoduchej substitúcie y = x +l alebo y = x\cdot l prevedieme zložitejšiu goniometrickú rovnicu typu g(x+l) =k alebo g(x \cdot l)=k, kde g je goniometrická funkcia s neznámou x a l,k sú reálne čísla, na základný typ goniometrických rovníc g(y) =k.

Príklad 1

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

\sin 2x = -\frac{1}{2}

Riešenie

Zavedieme pomocnú substitúciu y=2x a dostaneme rovnicu \sin y = -\frac{1}{2} Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.zakl.inc on line 16 .

Z grafu je vidieť, že pre y = \frac{11}{6}{\pi}; \frac{7}{6}{\pi}; -\frac{1}{6}{\pi}; -\frac{5}{6}{\pi} je na intervale \langle -2\pi;2\pi\rangle funkcia \sin y = -\frac{1}{2}.

Využitím periodičnosti funkcie sínus dostávame riešenia:

y_1 = \frac{7}{6}{\pi} + 2k\pi; k \in \mathbb{Z}, a y_2 = \frac{11}{6}{\pi} + 2 k\pi; k \in \mathbb{Z}

Vrátime sa k substitúcií a postupnou úpravou dostávame:

y_1 = \frac{7}{6}{\pi} + 2k\pi

2x_1 = \frac{7}{6}{\pi} + 2k\pi /:2

x_1 = \frac{7}{12}{\pi} + k\pi, ; k \in \mathbb{Z} (Prvé riešenie.)

y_2 = \frac{11}{6}{\pi} + 2k\pi

2x_2 = \frac{11}{6}{\pi} + 2k\pi /:2

x_2 = \frac{11}{12}{\pi} + k\pi, ; k \in \mathbb{Z} (Druhé riešenie.)

Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{7}{12}{\pi}+ k\pi;\frac{11}{12}{\pi}+ k\pi\}\;.

Príklad 2

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

{\rm tg}\: (4x-3) = 1

Platí podmienka: 4x-3 \not=(2k+1)\frac{1}{2}{\pi}; k \in \mathbb{Z}.

x \not=\frac{5}{4} + k \frac{\pi}{4}.

Zavedieme pomocnú substitúciu y=(4x-3) a dostaneme rovnicu:

{\rm tg}\: y=1 Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.zakl.inc on line 39

Z grafu a zo základných tabuľkových hodnôt funkcie tangens plynie, že pre y =\frac{1}{4}{\pi} +k\pi\ je funkcia {\rm tg}\: y = 1.

Vrátime sa späť k substitúcii a postupnou úpravou dostávame:

y = \frac{1}{4}{\pi} + k\pi

4x-3= \frac{1}{4}{\pi} + k\pi /+3

4x = \frac{1}{4}{\pi} + k\pi +3/:4

x = \frac{1}{16}{\pi} + \frac {3}{4} + \frac{k\pi}{4}

Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{1}{16}{\pi}+ \frac{1}{4}{k\pi}+ \frac{3}{4}\}\;.