Dvojnásobný argument

Pri tomto type úloh využívame vzorce pre dvojnásobný uhol, taktiež sa predpokladá znalosť predchádzajúcich typov úloh.

Príklad 1

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

\cos x + \sin 2x = 0

Riešenie

\cos x + 2\sin x\cos x = 0 (Použili sme vzorec \sin 2x = 2\sin x \cos x .)

\cos x(1 + 2\sin x) = 0 (Vytknuli sme pred zátvorku výraz obsahujúci funkciu kosínus.)

Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule). Odkiaľ plynie:

\cos x(1 + 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \vee (1+2\sin x) = 0


Prvá možnosť:

\cos x = 0 Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.dvoj.inc on line 19

Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.


Druhá možnosť:

1 + 2\sin x = 0

Úpravou dostávame \sin x = -{1 \over 2} Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.dvoj.inc on line 25

Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \sin x = -{1 \over 2} \Rightarrow x = {7 \over 6}{\pi} + 2k\pi; {11 \over 6}{\pi} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.


Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{7}{6}{\pi}+2k\pi; \frac{11}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.


Príklad 2

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

\sin 2x \cos x + \sin^2 x = 1

Riešenie

2\sin x\cos x\cos x = 1 - \sin^2 x (Použili sme vzorec \sin 2x = 2\sin x \cos x.)

2\sin x \cos^2 x = \cos^2 (Použili sme vzorec \sin^2 x + \cos^2 x = 1.)

\cos^2 x(2\sin x - 1) = 0

Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).

\cos^2 x(2\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow \cos^2 x = 0 \vee 2\sin x - 1 = 0


Prvá možnosť:

\cos^2 x = 0

\cos x = 0 Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.dvoj.inc on line 47

Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.


Druhá možnosť:

2\sin x -1 = 0

Úpravou dostávame \sin x = {1 \over 2}. Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.dvoj.inc on line 53

Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \sin x = {1 \over 2} \Rightarrow x = {\pi \over 6} + 2k\pi; {5 \over 6}{\pi} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.


Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{5}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.


Príklad 3

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

2\sin 2x - 2\cos 2x = 2

Riešenie

4\sin x \cos x - 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 2 (Použili sme vzorce \sin 2x = 2\sin x \cos x a \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x.)

4\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2 \sin^2 x = 2

4\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2(1 - \cos^2 x) = 2 (Použili sme vzorec \sin^2 x + \cos^2 x = 1.)

4\sin x \cos x - 4\cos^2 x + 2 - 2 = 0

4\cos x(\sin x - \cos x) = 0

Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).

4\cos x(\sin x - \cos x) = 0 \Leftrightarrow 4\cos x = 0 \vee \sin x - \cos x = 0


Prvá možnosť:

4\cos x = 0

Úpravou dostávame, že \cos x = 0 Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.dvoj.inc on line 77 .

Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.


Druhá možnosť:

\sin x - \cos x = 0

Po úprave dostávame:

\sin x = \cos x Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zlozrovnice.dvoj.inc on line 84

Z grafu plynie, že \sin x = \cos x \Rightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.


Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi \}\;.