Príklady

Príklad 1

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

\sin(x) = 1 Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zaklrovnice.priklady.inc on line 11

Riešenie

Riešenie je vidieť priamo z grafu funkcie sínus:

Pri pohľade na graf funkcie sínus je vidieť, že pre x = -\frac{3}{2}{\pi};x = \frac{1}{2}{\pi} je na danom intervale \langle -2\pi;2\pi\rangle funkcia \sin x = 1.

Využitím periody 2\pi dostávame množinu riešení K = \{\;\dots,-\frac{7}{2}{\pi},-\frac{3}{2}{\pi},\frac{1}{2}{\pi},\frac{5}{2}{\pi},\frac{9}{2}{\pi},\dots\}\;.

Množinu riešení budeme zapísovať stručnejším zápisom K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\}\;.

Príklad 2

Riešte goniometrickú nerovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

\cos(x) = 0 Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zaklrovnice.priklady.inc on line 25

Riešenie

Pri riešení využijeme graf funkcie kosínus a zistíme, v ktorých hodnotách kosínus nadobúda hodnoty 0.

Pri pohľade na graf funkcie kosínus je vidieť, že pre x = -\frac{3}{2}{\pi},x = -\frac{1}{2}{\pi},x = \frac{1}{2}{\pi},x = \frac{3}{2}{\pi} je na danom intervale \langle -2\pi;2\pi\rangle funkcia \cos x = 0. Využitim periodičnosti funkcie kosínus, podobne ako v prvom príklade, dostávame riešenie rovnice v tvare

K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\;.


Príklad 3

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R} a výsledok zapíšte v stupňovej miere:

\sin(x) = \frac{1}{2} Notice: Undefined variable: prefix in /var/www/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zaklrovnice.priklady.inc on line 38

Riešenie

Riešenie tejto úlohy je opäť viditeľné priamo z grafu funkcie sínus a z tabuľkových hodnôt funkcie sínus:

Platí, že pre x \in \langle 0;\frac{1}{2}{\pi}\rangle je riešením x_1 = \frac{1}{6}{\pi}, pre x \in \langle \frac{1}{2}{\pi},\pi\rangle je riešením x_2 = \frac{5}{6}{\pi}.

Funkcia kosínus je periodická s periódou 2\pi , obecné riešenie je teda

K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5\pi}{6}+2k\pi\}\; a výsledok v stupňovej miere je

K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ 30° + k\cdot360°; 150° + k\cdot360° \}\;.


Príklad 4

Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

\cos(x) = 0,985\ 0

Poznámka

Funkčné hodnoty uvádzame na 4 desatinné miesta.

Riešenie

Použitím kalkulačky alebo matematických tabuliek pre kosínus uhla v oblúkovej miere dostávame riešenie x_1 = 0,713\ 0 + 2k\pi a x_2 = 6,110\ 0 + 2k\pi, kde k \in \mathbb{Z}.

Použitím matematických tabuliek kosínusu uhla v stupňovej miere dostávame riešenia x_1 = 9°56+ k\cdot360° a x_2 = 360°-9°56 + k\cdot360° = 350°4 + k\cdot360°

Výsledné riešenie zapíšeme v tvare K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ 9°56 + k\cdot360°; 350°4 + k\cdot360° \}\;.