Základné goniometrické nerovnice

Riešenie základných goniometrických nerovníc je viditeľné priamo z grafov goniometrických funkcií, ako si to môžme pozrieť na úvodných vzorovo riešených príkladoch. Kapitola obsahuje aj úlohy určené k precvičovaniu, ktoré sú obohatené krokovaným riešenim. Pri riešeni základných goniometrických nerovníc sa predpokladá znalosť riešenia goniometrických rovníc, lineárnych a kvadratických nerovníc.

Príklad 1

Riešte goniometrickú nerovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

\cos x > {1 \over 2} Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zaklnerovnice.priklady.inc on line 17

Riešenie

Na tomto príklade si ukážeme dve rôzne metody ako riešiť goniometrickú nerovnicu.

Prvá metóda:

V prvom prípade riešenie určíme pomocou jednotkovej kružnice.

Z jednotkovej kružnice je vidieť, že daná goniometrická nerovnica nadobúda riešenie v prvom a v štvrtom kvadrante. Časť jednotkovej kružnice znázornená červenou farbou určuje riešenie danej goniometrickej nerovnice.

Výsledné riešenie môžme zapísať v tvare:

K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left ({5\pi \over 3} + 2k\pi; 2\pi + {\pi \over 3} + 2k\pi \right) = \left (-{\pi \over 3} + 2k\pi; {\pi \over 3} + 2k\pi \right), využívame podobne ako pri goniometrických rovniciach periodičnosť funkcie kosínus, platí -{\pi \over 3} + 2\pi = {5 \over 3}\pi. Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zaklnerovnice.priklady.inc on line 25

Druhá metóda:

V druhom prípade riešenie určíme pomocou grafu funkcie kosínus.

K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left (-{\pi \over 3} + 2k\pi; {\pi \over 3} + 2k\pi \right).


Príklad 2

Riešte goniometrickú nerovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

{\rm tg}\: x \leq {\large \sqrt {3} \large \over \large 3}

Riešenie

Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka x \not= (2k + 1){\large \pi \large \over \large 2}; k \in \mathbb{Z}. Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zaklnerovnice.priklady.inc on line 38

Z jednotkovej kružnice je vidieť, že riešenim je množina

K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left (-{\pi \over 2} + k\pi; {\pi \over 6} + k\pi \right \rangle , , pričom platí, že v bode -{\pi \over 2} funkcia tangens nie je definovaná, preto použijeme okrúhlu zátvorku, naopak bod {\pi \over 6} patrí do riešenia, plynie zo zadania, preto použijeme uhlovú zátvorku.


Príklad 3

Riešte goniometrickú nerovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:

0 \leq {\rm cotg}\: x \leq \sqrt {3}

Riešenie

Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka x \not= (k\pi; k \in \mathbb{Z}. Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/zaklnerovnice.priklady.inc on line 52

Využitím grafu a periodičnosti funkcie kotangens dostávame výsledok, ktorý zapíšeme v tvare

K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left \langle -{\pi \over 3} + 2k\pi; {\pi \over 3} + 2k\pi \right \rangle.