Pozn. Pojmem
proměnná označujeme libovolné písmeno, které zastupuje čísla z určitého oboru.
Tento obor nazýváme
obor proměnné. Konkrétní čísla, která se objevují ve výrazech, označujeme jako
konstanty.
Výraz je např. zápis
![obrazekV1](Vzorce/Vyrazy/obrazek1.PNG)
,
![obrazekV2](Vzorce/Vyrazy/obrazek2.PNG)
,
![obrazekV3](Vzorce/Vyrazy/obrazek3.PNG)
,
![obrazekV4](Vzorce/Vyrazy/obrazek4.PNG)
.
Výrazem naopak není zápis
![obrazekV5](Vzorce/Vyrazy/obrazek5.PNG)
.
Pro lepší pochopení uvedených pojmů se podíváme na výraz
![obrazekV2Pr](Vzorce/Vyrazy/2Pr.PNG)
,
pomocí něhož vypočítáme obvod kruhu. Jedná se o výraz, kde konstantami jsou čísla 2 a
![obrazekVpi](Vzorce/Vyrazy/pi.PNG)
(jejich hodnota je stále stejná, konstantní). Proměnnou je v tomto případě písmeno
![obrazekVr](Vzorce/Vyrazy/r.PNG)
,
vyjadřující poloměr daného kruhu (hodnota poloměru se pro různé kruhy mění, proměňuje se, a s ní i obvod kruhu).
A jaký je obor proměnné
![obrazekVr](Vzorce/Vyrazy/r.PNG)
pro výraz
![obrazekV2Pr](Vzorce/Vyrazy/2Pr.PNG)
?
Díváme-li se na tento výraz jako na návod pro výpočet obvodu kruhu, tak obor proměnné je tvořen všemi kladnými čísly
(poloměr kruhu, tedy proměnná
![obrazekVr](Vzorce/Vyrazy/r.PNG)
, nemůže nabývat záporných hodnot ani nuly).
Jestliže však výraz
![obrazekV2Pr](Vzorce/Vyrazy/2Pr.PNG)
chápeme obecněji, jako určitý výraz se dvěma konstantami a
jednou proměnnou, pak do oboru proměnné zahrnujeme všechna reálná čísla.
Kromě oboru proměnné existuje i
definiční obor proměnné.
Do definičního oboru proměnné patří jen taková čísla, pro které daný
výraz má smysl. To znamená, že po dosazení libovolného čísla
z definičního oboru proměnné nenastane nepřípustná operace (dělení nulou, výraz nula na nultou, odmocňování záporného čísla, atd.).
V našem případě je definiční obor proměnné tvořen všemi reálnými čísly.
Pozn. Pozorný čtenář jistě zpozoroval, že řecké písmeno
![obrazekVpi](Vzorce/Vyrazy/pi.PNG)
[pí] jsme označili jako konstantu.
Jak již víme z kapitoly o číselných oborech, písmeno
![obrazekVpi](Vzorce/Vyrazy/pi.PNG)
reprezentuje iracionální Ludolfovo číslo (jeho přibližná hodnota je 3,14).
Pozn. Není-li v zadání úlohy obor proměnné uveden, bereme v úvahu ten nejobecnější možný (obvykle obor reálných čísel).
Z tohoto oboru vynecháme ty hodnoty, pro které výraz nemá smysl, a tím dostaneme definiční obor proměnné.
Pozn. Do
definičního oboru výrazu s více proměnnými patří jen taková čísla, pro která má daný výraz smysl.
Příklad[nahoru]
Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl:
a)
Řešení
Výraz má smysl pro všechna
![obrazekV7](Vzorce/Vyrazy/obrazek7.PNG)
taková, že
![obrazekV8](Vzorce/Vyrazy/obrazek8.PNG)
,
tj.
![obrazekV9](Vzorce/Vyrazy/obrazek9.PNG)
.
Pro
![obrazekV10](Vzorce/Vyrazy/obrazek10.PNG)
by nastala nepřípustná operace dělení nulou.
Tedy
![obrazekV11](Vzorce/Vyrazy/obrazek11.PNG)
.
b)
Řešení
Aby měl výraz smysl, musí zároveň platit:
![obrazekV13](Vzorce/Vyrazy/obrazek13.PNG)
. První podmínku lze přepsat jako
![obrazekV14](Vzorce/Vyrazy/obrazek14.PNG)
, druhou jako
![obrazekV15](Vzorce/Vyrazy/obrazek15.PNG)
, tj.
![obrazekV16](Vzorce/Vyrazy/obrazek16.PNG)
.
První podmínka zaručuje, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhá podmínka vylučuje dělení nulou.
Tedy
![obrazekV17](Vzorce/Vyrazy/obrazek17.PNG)
.
c)
Řešení
Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit:
1.
![obrazekV19](Vzorce/Vyrazy/obrazek19.PNG)
, tj.
![obrazekV20](Vzorce/Vyrazy/obrazek20.PNG)
.
Tato podmínka platí pro všechna
![obrazekV21](Vzorce/Vyrazy/obrazek21.PNG)
, protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule.
2.
![obrazekV22](Vzorce/Vyrazy/obrazek22.PNG)
, tj.
![obrazekV23](Vzorce/Vyrazy/obrazek23.PNG)
.
3.
![obrazekV24](Vzorce/Vyrazy/obrazek24.PNG)
, tj.
![obrazekV25](Vzorce/Vyrazy/obrazek25.PNG)
, tedy
![obrazekV26](Vzorce/Vyrazy/obrazek26.PNG)
.
První podmínka nám zaručí, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhou podmínkou vyloučíme pod odmocninou všechna záporná čísla i nulu, abychom neodmocňovali záporné číslo ani nedělili nulou.
Třetí podmínka zaručuje, že nebudeme dělit nulou.
Tedy
![obrazekV27](Vzorce/Vyrazy/obrazek27.PNG)
,
![obrazekV28](Vzorce/Vyrazy/obrazek28.PNG)
,
![obrazekV29](Vzorce/Vyrazy/obrazek29.PNG)
.
Příklad[nahoru]
Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných:
a)
![obrazekV30](Vzorce/Vyrazy/obrazek30.PNG)
, pro
Řešení
![obrazekV32](Vzorce/Vyrazy/obrazek32.PNG)
b)
![obrazekV33](Vzorce/Vyrazy/obrazek33.PNG)
, pro
Řešení
![obrazekV35](Vzorce/Vyrazy/obrazek35.PNG)
c)
![obrazekV36](Vzorce/Vyrazy/obrazek36.PNG)
, pro
Řešení
![obrazekV38](Vzorce/Vyrazy/obrazek38.PNG)
d)
![obrazekV39](Vzorce/Vyrazy/obrazek39.PNG)
, pro
Řešení
Pro zvolené hodnoty proměnných výraz nemá smysl. Po dosazení za proměnnou
![obrazekV41](Vzorce/Vyrazy/obrazek41.PNG)
ve jmenovateli
by nastala nepřípustná operace, a to dělení nulou.
S výrazy se v matematickém textu setkáváme často. Přehledný a snáze srozumitelný výraz totiž nahrazuje zdlouhavý slovní popis. Srovnej:
Podíl pětinásobku součtu dvou reálných čísel a druhé odmocniny z jejich rozdílu jednoduše zapíšeme jako
![obrazekV42](Vzorce/Vyrazy/obrazek42.PNG)
.
Příklad[nahoru]
Zapiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např.
![obrazekVx](Vzorce/Vyrazy/x.PNG)
,
![obrazekVy](Vzorce/Vyrazy/y.PNG)
):
a) součet šestinásobku třetí mocniny prvního čísla a třetiny absolutní hodnoty druhého čísla
Řešení
![obrazekV43](Vzorce/Vyrazy/obrazek43.PNG)
b) rozdíl druhé odmocniny dvojnásobku prvního čísla a druhé mocniny čtyřnásobku druhého čísla
Řešení
![obrazekV44](Vzorce/Vyrazy/obrazek44.PNG)
c) součin dvojnásobku prvního čísla a čtvrtiny druhé odmocniny druhého čísla
Řešení
![obrazekV45](Vzorce/Vyrazy/obrazek45.PNG)
d) podíl čtvrté mocniny prvního čísla a absolutní hodnoty dvojnásobku druhého čísla
Řešení
S výrazy se setkáváme také v podobě vzorců, a to nejen v matematice, ale i v dalších vědách – fyzice, chemii, zeměpisu (např. vzorec pro objem kvádru,
výpočet rychlosti podle dráhy a času, vzdálenost dvou míst na Zemi podle jejich souřadnic). Výrazy nám pomáhají i při zápisu řešení slovních úloh.
Příklad[nahoru]
Petra má 3 sáčky, v každém z nich je
![obrazekV47](Vzorce/Vyrazy/obrazek47.PNG)
bonbónů. Tyto bonbóny chce rozdělit mezi svých
![obrazekV48](Vzorce/Vyrazy/obrazek48.PNG)
spolužáků. Pomocí výrazu napiš, o kolik se zmenší počet bonbónů pro každého spolužáka,
jestliže Petra chce obdarovat i
![obrazekV49](Vzorce/Vyrazy/obrazek49.PNG)
kamarádů z vedlejší třídy, a během cesty do školy už 5 % bonbónů snědla.
Řešení
Původní počet bonbonů pro každého spolužáka…
![obrazekV50](Vzorce/Vyrazy/obrazek50.PNG)
Počet spolužáků a kamarádů z vedlejší třídy…
![obrazekV51](Vzorce/Vyrazy/obrazek51.PNG)
Počet bonbonů, které má Petra po příchodu do školy…
![obrazekV52](Vzorce/Vyrazy/obrazek52.PNG)
, tj.
![obrazekV53](Vzorce/Vyrazy/obrazek53.PNG)
Počet bonbonů, které dostane každý spolužák nebo kamarád…
![obrazekV54](Vzorce/Vyrazy/obrazek54.PNG)
Zmenšení počtu bonbonů připadajících na spolužáka…
Pozn. V této kapitole pracujeme s algebraickými výrazy, tj. s výrazy, v nichž za každou proměnnou dosazujeme z číselného oboru. Existují ale i nealgebraické výrazy, jako např. výraz
![obrazekV56](Vzorce/Vyrazy/obrazek56.PNG)
. S nealgebraickými výrazy se setkáváme např. ve výrokové
logice. Většinou lze z kontextu poznat, kdy výraz je či není algebraický. Proto můžeme slovo algebraický vynechat.
Cvičení k této kapitole.
[nahoru]