Existuje několik způsobů rozkladu mnohočlenu:
1. Vytknutí společného mnohočlenu před závorku
Příklad
Rozlož mnohočlen vhodným vytknutím před závorku:
a)
Řešení
b)
Řešení
c)
Řešení
d)
Řešení
2. Rozklad pomocí vzorce
Většinou používáme následující vzorce (s některými už jsme se setkali u součinu mnohočlenů):
Pozn. Abychom dodrželi přesné znění definice rozkladu mnohočlenu, tedy že mnohočlen vyjádříme jako součin
jednodušších mnohočlenů, měli bychom správně psát např.
![obrazekRM6a](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek6a.PNG)
.
Pro větší přehlednost ale budeme i v dalším textu používat zkrácený zápis, tedy
![obrazekRM6](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek6.PNG)
.
Příklad[nahoru]
Rozlož mnohočlen s využitím vzorců:
a)
Řešení
b)
Řešení
c)
Řešení
d)
Řešení
![obrazekRM17](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek17.PNG)
3. Rozklad kvadratického trojčlenu
V tomto případě chceme rozložit kvadratický trojčlen
![obrazekRM19](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek19.PNG)
, kde
![obrazekRM20](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek20.PNG)
,
![obrazekRM21](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek21.PNG)
, na součin dvou lineárních dvojčlenů
![obrazekRM23](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek23.PNG)
, kde
![obrazekRM24](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek18.PNG)
.
Ne vždy taková čísla
![obrazekRMr](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/r.PNG)
,
![obrazekRMs](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/s.PNG)
existují. Pokud však existují, tak pro ně musí platit:
![obrazekRM25](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek25.PNG)
.
To znamená, že
![obrazekRM26](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek26.PNG)
.
Z těchto dvou podmínek určíme čísla
![obrazekRMr](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/r.PNG)
,
![obrazekRMs](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/s.PNG)
, pokud existují.
Pozn. Uvedené vztahy platí i v případě, že
p, q, r, s jsou reálná čísla.
Příklad[nahoru]
Rozlož kvadratický trojčlen na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty:
a)
Řešení
Pokud existují
![obrazekRM23](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek23.PNG)
taková, že
![obrazekRM28](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek28.PNG)
,
tak pro ně musí platit, že
![obrazekRM29](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek29.PNG)
. Aby byla splněna druhá podmínka, přichází v úvahu tyto možnosti:
![obrazekRM31](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek31.PNG)
.
První podmínce vyhovuje možnost
![obrazekRM32](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek32.PNG)
, tj.
![obrazekRM32a](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek32a.PNG)
.
Výsledek je tedy:
![obrazekRM33](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek33.PNG)
.
b)
Řešení
Hledáme čísla
![obrazekRMr](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/r.PNG)
,
![obrazekRMs](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/s.PNG)
taková, že
![obrazekRM35](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek35.PNG)
. Druhé podmínce vyhovuje
![obrazekRM37](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek37.PNG)
.
A první podmínka je splněna pro
![obrazekRM38](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek38.PNG)
, tj.
![obrazekRM38a](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek38a.PNG)
.
Výsledek je tedy:
![obrazekRM39](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek39.PNG)
.
c)
Řešení
Hledáme čísla
![obrazekRMr](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/r.PNG)
,
![obrazekRMs](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/s.PNG)
taková, že
![obrazekRM41](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek41.PNG)
. Druhé podmínce vyhovuje
![obrazekRM43](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek43.PNG)
.
A první podmínka je splněna pro
![obrazekRM44](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek44.PNG)
, tj.
![obrazekRM44a](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek44a.PNG)
.
Výsledek je tedy:
![obrazekRM45](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek45.PNG)
.
d)
Řešení
Hledáme čísla
![obrazekRMr](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/r.PNG)
,
![obrazekRMs](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/s.PNG)
taková, že
![obrazekRM47](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek47.PNG)
. Druhé podmínce vyhovuje
![obrazekRM48](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek48.PNG)
.
A první podmínka je splněna pro
![obrazekRM49](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek49.PNG)
, tj.
![obrazekRM49a](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek49a.PNG)
.
Výsledek je tedy:
![obrazekRM50](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek50.PNG)
.
Rozklad mnohočlenu není vždycky patrný na první pohled. Někdy mnohočlen dokonce nelze v oboru reálných čísel rozložit vůbec
(např. mnohočlen
![obrazekRM51](Vzorce/Rozklad_mnohoclenu/obrazek51.PNG)
). Přesto však je rozklad mnohočlenu užitečný, např. při počítání výrazů se zlomky.
Cvičení k této kapitole.
[nahoru]