ČÍSELNÉ OBORY
Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení,
tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.
Pozn. Uzavřenost číselného oboru vzhledem k početní operaci znamená, že výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné číselné množiny je číslo,
které také patří do této číselné množiny.
Obor všech přirozených čísel je tvořen množinou čísel
![obrazekOb1](Vzorce/Obory/obrazek1.PNG)
, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení.
Značíme
![obrazekS7](Vzorce/Symboly/obrazek7.PNG)
.
Obor všech celých čísel je tvořen množinou obsahující všechna přirozená čísla, všechna čísla opačná k přirozeným číslům a nulu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání a násobení.
Značíme
![obrazekS8](Vzorce/Symboly/obrazek8.PNG)
.
Pozn.
Opačným číslem ![obrazekOb2](Vzorce/Obory/obrazek2.PNG)
k číslu
![a](Vzorce/Symboly/a.PNG)
rozumíme takové číslo, pro něhož je
![obrazekOb3](Vzorce/Obory/obrazek3.PNG)
.
Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné (např.
![obrazekOb4](Vzorce/Obory/obrazek4.PNG)
,
![obrazekOb5](Vzorce/Obory/obrazek5.PNG)
), opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné
(např.
![obrazekOb6](Vzorce/Obory/obrazek6.PNG)
,
![obrazekOb7](Vzorce/Obory/obrazek7.PNG)
).
Opačné číslo k číslu nula je číslo nula.
Příklad[nahoru]
Rozhodni, zda-li následující tvrzení jsou pravdivá:
a) Číslo
![obrazekOb25](Vzorce/Obory/obrazek25.PNG)
náleží do oboru přirozených čísel.
Řešení
Ne, číslo
![obrazekOb25](Vzorce/Obory/obrazek25.PNG)
náleží do oboru celých čísel.
b) Opačným číslem k číslu
![obrazekOb26](Vzorce/Obory/obrazek26.PNG)
je číslo
![obrazekOb27](Vzorce/Obory/obrazek27.PNG)
.
Řešení
Ano, toto tvrzení je pravdivé.
c) Číslo
![obrazekOb28](Vzorce/Obory/obrazek28.PNG)
náleží do oboru přirozených čísel.
Řešení
Ne, číslo
![obrazekOb28](Vzorce/Obory/obrazek28.PNG)
náleží do oboru celých čísel.
Obor všech racionálních čísel je tvořen množinou obsahující taková čísla, která lze zapsat ve tvaru
![obrazekOb8](Vzorce/Obory/obrazek8.PNG)
, kde
![obrazekOb9](Vzorce/Obory/obrazek9.PNG)
,
na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem.
Značíme
![obrazekS9](Vzorce/Symboly/obrazek9.PNG)
.
Pozn. Množinu racionálních čísel můžeme také popsat tak, že obsahuje čísla s konečným desetinným rozvojem (např. číslo
![obrazekOb10a](Vzorce/Obory/obrazek10a.PNG)
)
a nekonečným periodickým desetinným rozvojem (např. číslo
![obrazekOb10b](Vzorce/Obory/obrazek10b.PNG)
).
Obor všech reálných čísel je tvořen množinou obsahující všechna racionální čísla a čísla s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem.
Značíme
![obrazekS10](Vzorce/Symboly/obrazek10.PNG)
.
Pozn. Reálné číslo, které zároveň nepatří do množiny racionálních čísel, nazýváme
iracionální číslo. Příkladem iracionálního čísla je číslo
![obrazekOb10](Vzorce/Obory/obrazek10.PNG)
,
(tj. Ludolfovo číslo, které představuje podíl obvodu libovolné kružnice a jejího průměru), které má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj.
Pozn. Každé reálné číslo můžeme znázornit jako bod na číselné ose. A zároveň každý bod na číselné ose reprezentuje jedno reálné číslo.
Pozn. Zápis
![obrazekOb12](Vzorce/Obory/obrazek12.PNG)
čteme
![a](Vzorce/Symboly/a.PNG)
náleží
![obrazekOb14](Vzorce/Obory/obrazek14.PNG)
.
Tento zápis znamená, že číslo
![a](Vzorce/Symboly/a.PNG)
je prvkem oboru celých čísel.
Příklad[nahoru]
Rozhodni, zda platí:
a)
Řešení
Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem.
b)
Řešení
Ne, Ludolfovo číslo má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj, proto do oboru racionálních čísel nepatří.
c)
Řešení
Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem.
Vztah mezi číselnými množinami lze schematicky vyjádřit:
Na závěr se podíváme, jaké vlastnosti má každý číselný obor:
Pro každá tři čísla
![a](Vzorce/Symboly/a.PNG)
,
![b](Vzorce/Symboly/b.PNG)
,
![obrazekOb17](Vzorce/Obory/obrazek17.PNG)
z číselného oboru platí:
1. asociativnost sčítání a násobení
![obrazekOb19](Vzorce/Obory/obrazek19.PNG)
2. komutativnost sčítání a násobení
![obrazekOb21](Vzorce/Obory/obrazek21.PNG)
3. existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání a násobení
![obrazekOb22](Vzorce/Obory/obrazek22.PNG)
(s výjimkou oboru přirozených čísel)
![obrazekOb23](Vzorce/Obory/obrazek23.PNG)
4. distributivnost násobení vzhledem ke sčítání
![obrazekOb24](Vzorce/Obory/obrazek24.PNG)
Pozn.
Neutrální prvek vzhledem k početní operaci je takový prvek, který neovlivní výsledek početní operace.
Pozn. V oboru přirozených čísel platí existence neutrálního prvku jen vzhledem k násobení. Existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání v něm neplatí, protože do oboru přirozených čísel nezahrnujeme číslo 0.
[nahoru]