Víme už, co je to mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká pravidla pro ni platí. Co se ale stane, když za mocnitele dosadíme celé číslo?
Nejdříve se znovu podíváme na pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem. Když si jednotlivé věty pečlivě pročteme, zjistíme, že ve všech může být mocnitelem libovolné přirozené číslo.
Jenom v jedné větě je pro mocnitele připojena další podmínka. O kterou větu se jedná? Přeci o pravidlo
dělení mocnin se stejným základem! K této větě je připojena podmínka,
že pro mocnitele
![obrazekZr](Vzorce/MocninyZ/r.PNG)
,
![obrazekZs](Vzorce/MocninyZ/s.PNG)
platí:
![obrazekZ1](Vzorce/MocninyZ/obrazek1.PNG)
.
Zkusme se podívat, co se stane, když tato podmínka nebude platit. Tedy když
![obrazekZ2](Vzorce/MocninyZ/obrazek2.PNG)
nebo
![obrazekZ3](Vzorce/MocninyZ/obrazek3.PNG)
.
Je zřejmé, že rovnost
![obrazekZ4](Vzorce/MocninyZ/obrazek4.PNG)
platí pro každé nenulové reálné číslo
![obrazekZa](Vzorce/MocninyZ/a.PNG)
a pro libovolné přirozené číslo
![obrazekZr](Vzorce/MocninyZ/r.PNG)
.
Využijeme-li navíc vztah
![obrazekZ7](Vzorce/MocninyZ/obrazek7.PNG)
, pak můžeme psát:
![obrazekZ8](Vzorce/MocninyZ/obrazek8.PNG)
.
Proto definujeme:
Pozn. Požadujeme, aby číslo
![obrazekZa](Vzorce/MocninyZ/a.PNG)
bylo nenulové, protože výraz
![obrazekZ6](Vzorce/MocninyZ/obrazek6.PNG)
není definován.
Z tohoto zápisu je ale vidět, že námi zkoumaná věta
![obrazekZ9](Vzorce/MocninyZ/obrazek9.PNG)
platí i v případě, že
![obrazekZ2](Vzorce/MocninyZ/obrazek2.PNG)
.
2. případ:
[nahoru]
Pro každé nenulové reálné číslo
![obrazekZa](Vzorce/MocninyZ/a.PNG)
a pro všechna přirozená čísla
![obrazekZr](Vzorce/MocninyZ/r.PNG)
,
![obrazekZs](Vzorce/MocninyZ/s.PNG)
, která splňují druhý případ, tedy
![obrazekZ3](Vzorce/MocninyZ/obrazek3.PNG)
platí, že:
![obrazekZ11](Vzorce/MocninyZ/obrazek11.PNG)
, kde
![obrazekZ12](Vzorce/MocninyZ/obrazek12.PNG)
je přirozené číslo.
Odtud tedy definujeme:
Podle uvedené definice můžeme napsat následující rovnost:
![obrazekZ15](Vzorce/MocninyZ/obrazek15.PNG)
, přičemž
![obrazekZ16](Vzorce/MocninyZ/obrazek16.PNG)
je záporné celé číslo. Pak ale vidíme, že věta
![obrazekZ17](Vzorce/MocninyZ/obrazek17.PNG)
platí i v případě, že
![obrazekZ3](Vzorce/MocninyZ/obrazek3.PNG)
.
Příklad[nahoru]
Vypočítej:
a)
Řešení
![obrazekZ18](Vzorce/MocninyZ/obrazek18.PNG)
(podle definice)
b)
Řešení
Tento výraz není definován.
c)
Řešení
d)
Řešení
A nyní si můžeme uvést všechny věty pro počítání s mocninami s celým mocnitelem. Pozorný čtenář si jistě všimne, že tyto věty odpovídají větám pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem.
Pouze zmizela podmínka pro mocnitele ve větě o dělení mocnin se stejným základem.
Příklad[nahoru]
Vypočítej za předpokladu, že
![obrazekZx](Vzorce/MocninyZ/x.PNG)
,
![obrazekZy](Vzorce/MocninyZ/y.PNG)
,
![obrazekZz](Vzorce/MocninyZ/z.PNG)
jsou nenulová reálná čísla:
a)
Řešení
![obrazekZ23](Vzorce/MocninyZ/obrazek23.PNG)
b)
Řešení
![obrazekZ24](Vzorce/MocninyZ/obrazek24.PNG)
c)
Řešení
![obrazekZ25](Vzorce/MocninyZ/obrazek25.PNG)
![obrazekZ25a](Vzorce/MocninyZ/obrazek25a.PNG)
Na závěr si ještě uvedeme způsob, jakým v matematice i v dalších přírodních vědách zapisujeme velká čísla, aby byl zápis přehlednější.
Využíváme k tomu mocniny se základem 10, tedy zápis vypadá takto:
![obrazekZ26](Vzorce/MocninyZ/obrazek26.PNG)
, kde
![obrazekZ27](Vzorce/MocninyZ/obrazek27.PNG)
,
![obrazekZ28](Vzorce/MocninyZ/obrazek28.PNG)
.
Exponent
![obrazekZ29](Vzorce/MocninyZ/obrazek29.PNG)
odpovídá řádu první platné číslici zapisovaného čísla.
Poznámka: Tento typ zápisu se nazývá
semilogaritmický tvar.
![učivo navíc](Vzorce/ucivo.PNG)