Víme už, co je to mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká pravidla pro ni platí. Co se ale stane, když za mocnitele dosadíme celé číslo?

Nejdříve se znovu podíváme na pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem. Když si jednotlivé věty pečlivě pročteme, zjistíme, že ve všech může být mocnitelem libovolné přirozené číslo. Jenom v jedné větě je pro mocnitele připojena další podmínka. O kterou větu se jedná? Přeci o pravidlo dělení mocnin se stejným základem! K této větě je připojena podmínka, že pro mocnitele , platí: .

Zkusme se podívat, co se stane, když tato podmínka nebude platit. Tedy když nebo .

Je zřejmé, že rovnost platí pro každé nenulové reálné číslo a pro libovolné přirozené číslo . Využijeme-li navíc vztah , pak můžeme psát:
.

Proto definujeme:

Pozn. Požadujeme, aby číslo bylo nenulové, protože výraz není definován.

Z tohoto zápisu je ale vidět, že námi zkoumaná věta platí i v případě, že .


2. případ: [nahoru]
Pro každé nenulové reálné číslo a pro všechna přirozená čísla , , která splňují druhý případ, tedy platí, že:
, kde je přirozené číslo.

Odtud tedy definujeme:

Podle uvedené definice můžeme napsat následující rovnost:
, přičemž je záporné celé číslo. Pak ale vidíme, že věta platí i v případě, že .


Příklad[nahoru]
Vypočítej:
a)
Řešení
(podle definice)

b)
Řešení
Tento výraz není definován.

c)
Řešení


d)
Řešení



A nyní si můžeme uvést všechny věty pro počítání s mocninami s celým mocnitelem. Pozorný čtenář si jistě všimne, že tyto věty odpovídají větám pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem. Pouze zmizela podmínka pro mocnitele ve větě o dělení mocnin se stejným základem.

Příklad[nahoru]
Vypočítej za předpokladu, že , , jsou nenulová reálná čísla:
a)
Řešení


b)
Řešení


c)
Řešení




Na závěr si ještě uvedeme způsob, jakým v matematice i v dalších přírodních vědách zapisujeme velká čísla, aby byl zápis přehlednější. Využíváme k tomu mocniny se základem 10, tedy zápis vypadá takto: , kde , . Exponent odpovídá řádu první platné číslici zapisovaného čísla.

Poznámka: Tento typ zápisu se nazývá semilogaritmický tvar.

Příklad[nahoru]
Zapiš ve tvaru , kde , :
a)
Řešení



Řešení


c)
Řešení


d)
Řešení



Cvičení k této kapitole.[nahoru]