Substituce

Substituce je nahrazení výrazu v mnohočlenu obsahující neznámou novou neznámou. Tím získáme novou rovnici, kterou následně snadněji vyřešíme.

Příklad
Řešte rovnici x^4 - 6x^2 + 8 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}.
Řešení
  • Rovnici zjednoduššíme použitím substituce x^2 = y.
  • Získáme kvadratickou rovnici y^2 - 6y + 8 = 0 s neznámou y \in \mathbb{R}, kde y_1=2 a y_2=4.
  • Vyřešili jsme rovnici s neznámou y, ale původní rovnice byla s neznámou x, proto dosadíme kořeny y_1, y_2 do vztahu vyjadřující substituci.
  • Tímto získáme rovnice x^2=2 a x^2=4.
  • Množinou všech řešení je \mathbb{K} = \left \{ \pm 2, \pm \sqrt{2} \right \}.

Jaký výraz v mnohočlenu nahradit se nedá obecně říci, proto se podívejme na několik řešených příkladů, které nám princip substituce objasní.

Příklady
Řešte rovnice v množině komplexních čísel použitím substituce.
  1. {(x^2 - x + 2)}^2 - 6(x^2 - x) - 4 = 0, kde x je neznámá.
    Řešení
    • \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
    • Výraz obsahující neznámou, který se v mnohočlenu opakuje je (x^2 - x ), proto je subtituce tvaru x^2 - x = y.
    • Dosadíme substituci do mnohočlenu: {(y+2)}^2-6y-4=0
    • Upravíme: y^2-2y=0 .... y_1 = 0, y_2 = 2
    • Dosadíme y_1, y_2 do sustitučnho vztahu x^2 - x = y.
    • x^2 - x = 0 .... x_1 = 0, x_2 = 1
    • x^2 - x = 2 .... x_3 = 2, x_4 = -1
    • \mathbb{K} = \left \{ 0, \pm 1, 2\right \}
    • Poznámka: Řešení by bylo stejné i v případě substituce x^2 - x + 2 = y.
  2. (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x +1) - 5 = 0, kde x je neznámá.
    Řešení
    • \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
    • Výraz obsahující neznámou (x^2 + 2x - 3) nahradíme: x^2 + 2x - 3 = y
    • Dosadíme substituci do mnohočlenu: y(y+4)-5=0
    • Upravíme: y^2+4y-5=0 .... y_1 = 1, y_2 = -5
    • Dosadíme y_1, y_2 do sustituční rovnice x^2 + 2x - 3 = y.
    • x^2 + 2x - 3 = 1 .... x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{5}
    • x^2 + 2x - 3 = -5 .... x_{3,4} = -1 \pm i
    • \mathbb{K} = \left \{ -1 \pm \sqrt{5}, -1 \pm i \right \}
    • Poznámka: Řešení by bylo stejné i v případě substitucí x^2 + 2x + 1 = y nebo x^2 + 2x = y.

Úloha

  1. Řešte rovnici {(y^2 - y)}^2 - y^2 + y - 30 = 0 s neznámou y \in \mathbb{R} použitím substituce.
    Řešení