Rovnice vyšších stupňů

• \mathbb{M}=\mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• Řešíme reciprokou rovnici I. druhu lichého stupně. Víme první kořen x_1=-1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (x+1), nebo použijeme Hornerovo schéma.

  	7	57	57	7
  -1		-7	-50	-7
  	7	50	7	0

• Získali jsme kvadratickou rovnici 7x^2 + 50x +7 = 0, kterou vyřešíme.
  x_2 = -\frac{1}{7}
  x_3 = -7
• \mathbb{K} = \left \{ -1, -7, -\frac{1}{7} \right \}

• \mathbb{M}=\mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• Řešíme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupně. Vydělíme tedy pravou stranu rovnice výrazem y^2 a upravíme.
  8y^2 - 54y + 101 - 54\frac{1}{y} + 8\frac{1}{y^2} = 0
  8(y^2 + \frac{1}{y^2})- 54(y + \frac{1}{y}) + 101 = 0
• Nyní použijeme substituci t = y + \frac{1}{y}, t^2 - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2} a upravíme.
  8(t^2 - 2) - 54(t) + 101 = 0
  8t^2 - 16 - 54t + 101 = 0
  8t^2 - 54t + 85 = 0
• Vyřešíme kvadratickou rovnici s neznámou t \in \mathbb{C}.
  t_1 = \frac{17}{4}, t_2 = \frac{10}{4}
• Dosadíme kořeny t_1, t_2 do substitučního vztahu t = y + \frac{1}{y} a upravíme.
  \frac{17}{4} = y + \frac{1}{y} ..... y_1 = 4, y_2 = \frac{1}{4}
  \frac{10}{4} = y + \frac{1}{y} ..... y_3 = 2, y_4 = \frac{1}{2}
• \mathbb{K} = \left \{ 4, \frac{1}{4}, 2, \frac{1}{2} \right \}

• \mathbb{M}=\mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• Je to reciproká rovnice II. druhu. Víme první kořen z_1=1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (z-1), nebo použijeme Hornerovo schéma.

  	6	-23	2	0	-2	23	-6
  1		6	-17	-15	-15	-17	6
  	6	-17	-15	-15	-17	6	0

  
  Získali jsme reciprokou rovnici I. druhu lichého stupně
  6z^5 - 17z^4 - 15z^3 - 15z^2 - 17z + 6 = 0.
• Víme druhý kořen z_2=-1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (z+1), nebo opět použijeme Hornerovo schéma.

  	6	-17	-15	-15	-17	6
  -1		-6	23	-8	23	-6
  	6	-23	8	-23	6	0

  
  Získali jsme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupně 6z^4 - 23z^3 + 8z^2 - 23z + 6 = 0.
• Vydělíme tedy pravou stranu rovnice výrazem z^2 a upravíme.
  6z^2 - 23z + 8 - 23\frac{1}{z} + 6\frac{1}{z^2} = 0
  6(z^2 + \frac{1}{z^2})- 23(z + \frac{1}{z}) + 8 = 0
• Nyní použijeme substituci t = z + \frac{1}{z}, t^2 - 2 = z^2 + \frac{1}{z^2} a upravíme.
  6(t^2 - 2) - 23(t) + 8 = 0
  6t^2 - 12 - 23t + 8 = 0
  6t^2 - 23t - 4 = 0
• Vyřešíme kvadratickou rovnici s neznámou t \in \mathbb{C}.
  t_1 = 4, t_2 = -\frac{1}{6}
• Dosadíme kořeny t_1, t_2 do substitučního vztahu t = z + \frac{1}{z} a upravíme.
  4 = z + \frac{1}{z} ..... z_3 = 2 + \sqrt{3}, z_4 = 2 - \sqrt{3}
  -\frac{1}{6} = z + \frac{1}{z} ..... z_5 = \frac{1+i\sqrt{143}}{12}, z_6 = \frac{1-i\sqrt{143}}{12}
• \mathbb{K} = \left \{ -1, 1, 2 \pm \sqrt{3}, \frac{1 \pm i\sqrt{143}}{12} \right \}

\mathbb{M}=\mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
Je to reciproká rovnice I. druhu lichého stupně.
Vydělením rovnice dvojčlenem (x+1), z věty víme první kořen x_1=-1, získáme kvadratickou rovnici:
3x^2 + 10x + 3 = 0
x_2 = -\frac{1}{3} , x_3 = -3
\mathbb{K} = \left \{ -1, -3, -\frac{1}{3} \right \}

\mathbb{M}=\mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
Je to reciproká rovnice II. druhu. Víme první kořen y_1=1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (y-1).
Získali jsme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupně 12y^4 - 4y^3 - 41y^2 - 4y + 12 = 0, kterou vydělíme y^2, upravíme a použijeme substituci t = y + \frac{1}{y}, t^2 - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}.
Vyřešíme kvadratickou rovnici 12t^2 - 4t - 65 = 0, kde t_1 = -\frac {13}{6}, t_2 = \frac {5}{2}.
\mathbb{K} = \left \{ 1, 2, \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{2}{3} \right \}

\mathbb{M}=\mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
Je to reciproká rovnice II. druhu. Víme první kořen z_1=1 a vydělíme tedy pravou stranu rovnice dvojčlenem (z-1).
Získali jsme reciprokou rovnici I. druhu lichého stupně -z^5 + z^3 + z^2 - 1 = 0.
Víme kořen z_2=-1, a tak rovnici vydělíme dvojčlenem (z+1). Získáme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupně -z^4 + z^3 + z - 1 = 0, kterou vydělíme z^2, upravíme a použijeme substituci t = z + \frac{1}{z}, t^2 - 2 = z^2 + \frac{1}{z^2}.
Vyřešíme kvadratickou rovnici t^2 - t - 2 = 0, kde t_1 = 2, t_2 = -1.
\mathbb{K} = \left \{ -1, 1, 1, 1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right \}