Rovnice vyšších stupňů

• \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• a) Algebraické řešení: Mnohočlen na levé straně rovnice rozložíme na součin pomocí vzorce a ^2 - b ^2.
• x^4 - 1 = [x^2-1][x^2+1] = (x-1)(x+1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x-i)(x+i), kde i je imaginární jednotka.
• Z věty o rovnici v součinovém tvaru má rovnice čtyři řešení, a to \pm 1, \pm i.
• b) Goniometrické řešení: Hledáme všechna řešení rovnice x^4 = 1.
• Číslo 1 napíšeme v goniometrickém tvaru:
  |1|=1, cos   \alpha = 1, sin   \alpha = 0   \Rightarrow   1=cos 0 + i sin 0
• Všechna řešení jsou tvaru x_k =\sqrt[4]{1} \Big[ cos   ( \frac {0 + 2k \pi}{4} ) + i   sin   ( \frac {0 + 2k \pi}{4}) \Big] , kde k = 0, 1, 2, 3.
• x_0 =\Big[ cos   ( \frac {0}{4} ) + i   sin   ( \frac {0}{4}) \Big] = 1
  x_1 =\Big[ cos   ( \frac {2 \pi}{4} ) + i   sin   ( \frac {2 \pi}{4}) \Big] = i
  x_2 =\Big[ cos   ( \frac {4 \pi}{4} ) + i   sin   ( \frac {4 \pi}{4}) \Big] = -1
  x_3 =\Big[ cos   ( \frac {6 \pi}{4} ) + i   sin   ( \frac {6 \pi}{4}) \Big] = -i
• \mathbb{K} = \left \{ \pm 1, \pm i \right \}

• \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• a) Algebraické řešení: Mnohočlen na levé straně rovnice rozložíme na součin pomocí vzorce a ^3 - b ^3.
• 8y^3 - 27 = (2y)^3 - 3^3 = (2y - 3)(4y^2 + 6y + 9) = (2y - 3)(y + \frac {3 - 3 \sqrt{3} i}{4} )(y + \frac {3 + 3 \sqrt{3} i}{4} )
• Z věty o rovnici v součinovém tvaru má rovnice tři řešení, a to \frac {3}{2}, \frac {3}{4}(-1 \pm \sqrt{3} i).
• b) Goniometrické řešení: Hledáme všechna řešení rovnice y^3 = \frac {27}{8}.
• Číslo \frac {27}{8} napíšeme v goniometrickém tvaru:
  |\frac {27}{8}|=\frac {27}{8}, cos   \alpha = 1, sin   \alpha = 0   \Rightarrow   \frac {27}{8}=\frac {27}{8}(cos 0 + i sin 0)
• Všechna řešení jsou tvaru y_k =\sqrt[3]{\frac {27}{8}} \Big[ cos   ( \frac {0 + 2k \pi}{3} ) + i   sin   ( \frac {0 + 2k \pi}{3}) \Big] , kde k = 0, 1, 2.
• y_0 = \frac {3}{2} \Big[ cos   \frac {0}{3} + i   sin   \frac {0}{3} \Big] = \frac {3}{2}
  y_1 = \frac {3}{2} \Big[ cos   \frac {2 \pi}{3} + i   sin   \frac {2 \pi}{3} \Big] = -\frac {3}{4} + i \frac {3 \sqrt{3}}{4}
  y_2 = \frac {3}{2} \Big[ cos   \frac {4 \pi}{3} + i   sin   \frac {4 \pi}{3} \Big] = -\frac {3}{4} - i \frac {3 \sqrt{3}}{4}
• \mathbb{K} = \left \{ \frac {3}{2}, \frac {3}{4}(-1 \pm \sqrt{3} i) \right \}

• \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
• a) Algebraické řešení: Řešíme kvadratickou rovnici. Například úpravou mnohočlenu na levé straně rovnice pomocí doplnění na úplný čtverec a následné rozložení na součin podle vzrorce.
• (z^2+2z+1)-1+5=(z+1)^2 + 4 = (z+1)^2+2^2 = (z+1+2i)(z+1-2i)
  Kořeny jsou čísla -1 \pm 2i.
• b) Goniometrické řešení: Rovnici si upravíme na tvar (z+1)^2 + 4 = 0 a použijeme substituci t=(z+1).
• Řešíme tedy binomickou rovnici t^2 + 4 = 0 s neznámou t \in \mathbb{C}.
• Převedeme číslo -4 na goniometrický tvar : -4 = 2(cos \pi + i sin \pi)
  Všechna řešení jsou tvaru t_k =\sqrt{4} \Big[ cos   ( \frac {\pi + 2k \pi}{2} ) + i   sin   ( \frac {\pi + 2k \pi}{2}) \Big] , kde k = 0, 1.
• t_0=2 \Big[ cos   ( \frac {\pi}{2} ) + i   sin   ( \frac {\pi}{2}) \Big] = 2i
  t_1=2 \Big[ cos   ( \frac {3 \pi}{2} ) + i   sin   ( \frac {3 \pi}{2}) \Big] = -2i
• Nesmíme zapomenout, že rovnici chceme vyřešit pro neznámou z. Proto řešení t=\pm 2i musíme dosadit do vztahu substituce t=(z+1).
  Tedy z=t-1 a řešením rovnice jsou čísla -1 \pm 2i.
• \mathbb{K} = \left \{ -1 \pm 2i \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
x^2 + 2x + 2 = (x + 1 - i)(x + 1 + i)
x_k =\Big[ cos   ( \frac {\pi + 2k \pi}{2} ) + i   sin   ( \frac {\pi + 2k \pi}{2}) \Big] , kde k = 0, 1
\mathbb{K} = \left \{-1 \pm i \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
y^3 - 2 = y^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = (y - \sqrt[3]{2})(y^2 + \sqrt[3]{2}y + \sqrt[3]{2^2})
y_k =\sqrt[3]{2} \Big[ cos   ( \frac { 2k \pi}{3} ) + i   sin   ( \frac { 2k \pi}{3}) \Big] , kde k = 0, 1, 2
\mathbb{K} = \left \{ \sqrt[3]{2},\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}(-1 \pm i \sqrt{3} ) \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
z^6 - 1 = {(z^3)}^2-1=(z^3-1)(z^3+1)=(z-1)(z^2+z+1)(z+1)(z^2-z+1)
z_k = \Big[ cos   ( \frac { 2k \pi}{6} ) + i   sin   ( \frac { 2k \pi}{6}) \Big] , kde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
\mathbb{K} = \left \{\pm 1, \frac{1}{2}(-1 \pm i \sqrt{3} ), \frac{1}{2}(1 \pm i \sqrt{3} ) \right \}