Mnohočleny

Definice

Výraz ve tvaru a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0, kde a_n, a_{n-1},..,a_0 \in \mathbb{R}, a_n \neq 0 a n \in \mathbb{N_0}, nazýváme mnohočlenem (polynomem) n-tého stupně s jednou proměnnou x \in \mathbb{R}.

Mnohočlen n-tého stupně s proměnnou x značíme P_n(x), respektive P(x).

Čísla a_n, a_{n-1},..,a_0 nazýváme koeficienty mnohočlenu.

Jednotlivé sčítance mnohočlenu a_kx^k, kde 0 \le k \le n, k \in \mathbb{N_0}, nazýváme členy mnohočlenu.

Číslo a_0 se nazývá absolutní člen, člen a_1x  lineární člen a člen a_2x^2  kvadratický člen.

P(x) = \overbrace{ a_2x^2 }^{kvadratický   člen} + \overbrace{ a_1x }^{lineární   člen} + \overbrace{ a_0 }^{absolutní   člen}

Koeficient a_n, tj. koeficient u nejvyšší mocniny x, nazýváme vedoucí koeficient mnohočlenu. Pokud je a_n = 1, říkáme, že je mnohočlen v normovaném tvaru.

Podle počtu členů v mnohočlenu nazýváme mnohočlen s jedním členem jednočlen, mnohočlen se dvěma členy dvojčlen atd.

Příklad
  • jednočlen: 6x^2
  • dvojčlen: 2x + 5

    • Mnohočlen prvního stupně a_1x^1+a_0 (obvykle píšeme ax+b; a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0) nazýváme lineární.

    Příklad
  • lineární dvojčlen: 4x + 5
  • lineární jednočlen: -2x
    Vidíme, že a musí být různé od nuly, aby se jednalo o linární mnohočlen. Ale b může být rovno nule.

    • Mnohočlen druhého stupně a_2x^2+a_1x^1+a_0 (tj. ax^2+bx+c; a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0) nazýváme kvadratický.

    Příklad
  • kvadratický jednočlen: 6x^2
  • kvadratický dvojčlen: 2x^2 - 8
  • kvadratický trojčlen: 3x^2 + 2x - 1
    Opět platí, že a \neq 0, ale b i c může být rovno nule.

    • Mnohočlen třetího stupně a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0 (tj. ax^3+bx^2+cx+d; a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0) nazýváme kubický.

    Příklad
  • kubický jednočlen: -2x^3
  • kubický dvojčlen: 8x^3 + 2x^2
  • kubický trojčlen: 3x^3 - x +5

    • Poznámka

    Libovolné číslo a_0 \in \mathbb{R \setminus \left \{0\right \}}   nazýváme mnohočlenem nultého stupně.
    Mnohočlen s koeficienty a_0=a_1=...=a_n=0 nazýváme nulovým mnohočlenem.

    Připomenuli jsme si pouze definici mnohočlenu a základní pojmy, ale s mnohočleny jsou také spojeny různé početní operace. Můžeme je mezi sebou sčítat, odčítat násobit i dělit. Na těchto stránkách je uvedeno pouze dělení mnohočlenů. Ostatní operace jsou uvedeny na stránkách Vladimíry Pavlicové, která se ve své bakalářské práci věnuje základním poznatkům z matematiky.