Algebraické rovnice - opakování
S pojmem rovnice se každý setkal již na základní škole. Pro jistotu si zopakujeme alespoň pojmy, které budeme v dalších kapitolách používat.
Podrobně se rovnicím a nerovnicím věnuje stránka Jaromíra Gloce, na které naleznete teorii, řešené úlohy i neřešené příklady.
Definice
Jsou dány dva výrazy s jednou proměnnou x \in \mathbb{M}, které označíme P(x) a L(x).
Potom zápis těchto výrazů ve tvaru L(x) = P(x) nazýváme rovnice s neznámou x \in \mathbb{M}, kde výraz L(x) nazýváme levou stranou rovnice a výraz P(x) pravou stranou rovnice.
Kořenem rovnice je každé číslo b \in \mathbb{M}, pro které platí rovnost obou výrazů L(b)=P(b).
Poznámka
Pojem řešení rovnice je v textu použit ve třech významech, a to pro kořen rovnice, pro množinu všech kořenů rovnice a také pro postup, kterým zjistíme kořeny rovnice. Konkrétní význam vyplyne ze souvislosti.
\mathbb{M} je množina čísel, ve které hledáme kořeny rovnice (např. \mathbb{M} = \mathbb{Z}, \mathbb{M} = \mathbb{R}, ... ). Neznámá x tedy nabývá hodnot právě z množiny \mathbb{M}. Množinu \mathbb{M} nazýváme obor řešení rovnice.
Výraz P(x) je definován v množině čísel D_P a výraz L(x) v množině D_L. Průnikem množin D_P a D_L vznikne množina čísel \mathbb{D}, kterou nazýváme definičním oborem rovnice.
Všechna čísla, která jsou kořenem (řešením) rovnice, tvoří množinu všech řešení (kořenů) rovnice. Tuto množinu obvykle značíme velkým písmenem \mathbb{K}.
Důležitý je vztah mezi množinami výše. Platí \mathbb{K} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{M}. Tyto množiny budeme uvádět u každého řešení rovnice.
Řešit rovnici znamená nalézt množinu všech řešení (kořenů) \mathbb{K} dané rovnice. Postup, jak řešit rovnici, je založen na tzv. ekvivalentních úpravách. Tyto úpravy převádějí původní rovnici na jednodušší tvar, z kterého lze snadněji určit množinu všech řešení (kořenů). Důležité je, že ekvivalentní úpravy nemění množinu řešení původní rovnice.
Rovnici, která vznikne z původní rovnice použitím ekvivaletních úprav, nazýváme ekvivalentní rovnicí. Ekvivalentní rovnice má s původní rovnicí stejnou množinu řešení (kořenů).
Příklad
Je dána rovnice \overbrace{ 2x + 7 }^{L(x)} = \overbrace{ 4 + 5x }^{P(x)} s neznámou x \in \mathbb{R} .
Zjistěte, zda je číslo 1 kořenem rovnice.
- \mathbb{M}=\mathbb{R}, \mathbb{D}=\mathbb{R}
- Dosadíme za x číslo 1 :
L(1) = 2*1 + 7 = 9
P(1) = 4 + 5*1 = 9 - Platí, že L(1)=P(1) .
Číslo 1 je prvkem množin \mathbb{M} i \mathbb{D}, proto je x = 1 kořenem rovnice.
Ekvivalentní úpravy
- Záměna levé a pravé strany rovnice.
- K oběma stranám rovnice lze přičíst (odečíst) stejné číslo nebo výraz obsahující neznámou, pokud je toto číslo nebo výraz definován v celém oboru řešení \mathbb{M} .
- Obě strany rovnice lze vynásobit (vydělit) stejným nenulovým číslem nebo nenulovým výrazem obsahující neznámou, je-li toto číslo nebo výraz definován v celém oboru řešení \mathbb{M} .
- Obě strany rovnice lze umocnit přirozeným mocnitelem, jestliže obě strany rovnice nabývají jen nezáporných hodnot v celém oboru řešení \mathbb{M} .
Úmluva: Zkratka pro ekvivalentní úpravu číslo 1 je (EU1), atd.
Pokud při řešení rovnic využíváme pouze ekvivalentní úpravy výše, není třeba provádět zkoušku. Zkouška se dělá tak, že všechna řešení rovnice, která vyhovují oboru řešení \mathbb{M} , postupně dosazujeme do levé L(x) a pravé P(x) strany rovnice. Pokud se obě strany L(x) a P(x) rovnají, číslo je kořenem rovnice.
Zkoušku lze provézt i v případě, že si nejsme jisti, zda úprava byla ekvivalentní. Zkouškou si také ověříme, jestli jsme se nedopustili numerické chyby.
.
