Kořeny mnohočlenu

Definice

Je dán mnohočlen P_n(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0 ,
kde a_n, a_{n-1},..,a_0 \in \mathbb{R} , a_n \neq 0 a n \in \mathbb{N_0}.

Kořenem mnohočlenu P_n(x) je takové číslo b \in \mathbb{R}, pro které platí
P_n(b) = a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_2b^2+a_1b+a_0 = 0 .

Pokud tedy do mnohočlenu P_n(x) dosadíme x = b a vyjde P_n(b) = 0, je toto číslo b kořenem mnohočlenu.

Úloha
  1. Zjistěte, které z čísel 1, -1 je kořenem mnohočlenu P(x) = x^4 - 8x^3 + 3x + 4.
    Řešení

Věta

Pokud je b \in \mathbb{R} kořenem mnohočlenu P_n(x), kde n \in \mathbb{N}, lze mnohočlen P_n(x) rozložit na součin P_n(x) = (x - b) * Q_{n-1}(x), kde Q_{n-1}(x) je mnohočlen nižšího stupně, a to stupně n-1.

Úloha
  1. Určete mnohočlen Q_3(x), jestliže je dán mnohočlen P_4(x) = x^4 - 8x^3 + 3x + 4 a kořen b=1.
    Řešení

Čísla, která by mohla být kořeny, můžeme zjistit z absolutního členu a_0 mnohočlenu
P_n(x) = a_nx ^n+a_{n-1}x ^{n-1}+...+a_2x ^2+a_1x+a_0 .

Věta

Je dán mnohočlen P_n(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+ a_2x^2 + a_1x + a_0, kde a_n \neq 0, a_0 \neq 0, a_n, a_{n-1},..,a_0 \in \mathbb{Z} a n \in \mathbb{N}.

Je-li číslo b \in \mathbb{Z} kořenem mnohočlenu, potom je dělitelem absolutního členu a_0.

Důkaz věty lze najít v knize E. Caldy.

Úloha
  1. Rozložte mnohočlen P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 na součin.
    Řešení

U mnohočlenu třetího stupně byl rozklad poměrně jednoduchý. Představme si mnohočlen sedmého stupně např. P(x) = 2x^7 - 3x^6 - 8x^5 + 6x^4 + 10x^3 + x^2 + 4x + 4 .
To už bychom se mírně zapotili jen při dosazování čísel z množiny dělitelů absolutního členu, natož pak několikrát mnohočlen dělit dvojčlenem (x - b). (V "nejhorším" případě bychom dělili šestkrát!). Proto je dobré znát Hornerovo schéma.

Hornerovo schéma

Hornerovo schéma nám umožní snadno a rychle rozkládat mnohočleny. Uvažujme mnohočlen P_n(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0 , kde a_n, a_{n-1},..,a_0 \in \mathbb{R} , a_n \neq 0 a n \in \mathbb{N_0}.

Mnohočlen P_n(x) upravíme na tvar
P_n(x) = \bigg( \Big( \dots \big( ( a_nx + a_{n-1} )x + a_{n-2} \big)x + \dots +a_2 \Big)x + a_1 \bigg)x + a_0 .

Cílem je zjistit, zda je číslo b_0 \in \mathbb{R} kořenem mnohočlenu P_n(x), kde P_n(x) má tvar uvedený výše.

  1. Vytvoříme si následující tabulku, kterou nazýváme Hornerovo schéma.
       a_n    a_{n-1} a_{n-2} ... a_0
       b_0    +b_0a_n +b_0(a_{n-1}+b_0a_n) ... +b_0(a_1+b_0a_2+...+b_0^{n-1}a_n)
    a_n    (a_{n-1}+b_0a_n)      (a_{n-2}+b_0a_{n-1}+b_0^2a_n)      ...      (a_0+b_0a_1+b_0^2a_2+...+b_0^{n}a_n)   
  2. Vidíme, že první řádek schématu je tvořen koeficienty mnohočlenu P_n(x).
  3. V druhém řádku a v prvním sloupci se nachází číslo b_0. Do třetího řádku a druhého sloupce sepíšeme číslo a_n. Nyní vynásobíme b_0 * a_n a výsledek zapíšeme do druhého řádku a třetího sloupce. Dále sečteme číslo a_{n-1} z třetího sloupce a prvního řádku s číslem b_0 * a_n z druhého řádku a třetího sloupce a výsledek zapíšeme do třetího řádku třetího sloupce. Takto postupujeme až vyplníme celou tabulku.
  4. Pokud je poslední součet ve třetím řádku (a_0+b_0a_1+b_0^2a_2+...+b_0^{n}a_n) roven nule, dané číslo b_0 je kořenem mnohočlenu P_n(x). Vyplývá z definice kořenu mnohočlenu.
  5. Výrazy ve třetím řádku jsou koeficienty mnohočlenu Q_{n-1}(x), který vznikne vydělením mnohočlenu P_n(x) výrazem (x - b_o).

Pro názornost si celý postup ukážeme na příkladu.


Úloha
  1. Rozložte mnohočlen P(x) = 2x^7 - 3x^6 - 8x^5 + 6x^4 + 10x^3 + x^2 + 4x + 4 na součin.

    Řešení
    Absolutní člen je a_0 = 4, proto množina dělitelů a_0 je \left \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4 \right \}.
    Ověřujeme zda je číslo 1 kořenem mnohočlenu.
    Ověřujeme zda je číslo -1 kořenem mnohočlenu.
    Ověřujeme zda je číslo 2 kořenem mnohočlenu.