Rovnice vyšších stupňů

Kvadratické rovnice

Stejně jako u lineárních rovnic si stručně zopakujeme početní řešení kvadratické rovnice (podrobněji viz stránka rovnice a nerovnice) a větší pozornost budeme věnovat grafickému řešení kvadratické rovnice.

Definice

Nechť a, b, c jsou reálná čísla, kde a \neq 0. Potom rovnici ve tvaru ax^2 + bx + c = 0 nazýváme kvadratickou rovnicí s neznámou x \in \mathbb{M}.

Pokud by byl vedoucí koeficient a = 0, získali bychom lineární rovnici.

Početní řešení kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice může být neúplného tvaru, pokud je některý z koeficientů b, c roven nule, nebo tvaru úplného v případě b, c \in \mathbb{R \setminus \left \{0\right \}}.

Neúplný tvar kvadratické rovnice

Jak již bylo zmíněno, jde pouze o speciální případ kvadratické rovnice, kde je některý z koeficientů b, c nulový.

b = 0 ..... ax^2 + c = 0 ..... ryze kvadratická rovnice

x^2 = - \frac{c}{a}

Množina \mathbb{M}, ve které rovnici řešíme	(-\frac{c}{a} )	Kořeny
\mathbb{R}	(-\frac{c}{a} ) = 0	x_1 = x_2 = 0
	(-\frac{c}{a} ) > 0	x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}
	(-\frac{c}{a} ) < 0	\emptyset
\mathbb{C}	(-\frac{c}{a} ) \ge 0	x_{1,2} stejné jako v \mathbb{R}
	(-\frac{c}{a} ) < 0	x_{1,2} = \pm i \sqrt{\frac{c}{a}}, i \in \mathbb{C}

c = 0 ..... ax^2 + bx = 0
Jde o kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Levou stranu rovnice rozložíme na součin a řešíme rovnici v součinovém tvaru.

      ax^2 + bx = 0
x*(ax + b) = 0
ax + b = 0 \land x = 0
       ax = -b
          x = -\frac{b}{a}
Množina řešení je \mathbb{K} = \left \{ 0,-\frac{b}{a} \right \} .

Úplný tvar kvadratické rovnice

Předpokládáme tedy, že koeficienty b, c jsou nenulové a rovnice má tvar ax^2 + bx + c = 0 .

Pokud rovnici vydělíme koeficientem a, získáme normovaný tvar kvadratické rovnice x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 .

Již víme, že levá strana rovnice je kvadratický trojčlen. Proto kvadratickou rovnici můžeme řešit tak, že kvadratický trojčlen rozložíme na součin a dále rovnici řešíme jako rovnici v součinovém tvaru.

Rozklad na součin pomocí Vietových vzorců.
Úloha
Řešte rovnici x^2 - 17x + 72 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R} .
Řešení
- \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
- x^2 - 17x + 72 = 0
  x_1 + x_2 = 17
  x_1 * x_2 = 72
- Číslo 72 lze rozložit na 8*9 a 17 na 8+9 .
- Kvadratický trojčlen rozložíme na součin: (x-8)*(x-9) = 0
  (x-8)=0 \land (x-9)=0
- Množina řešení je \mathbb{K} = \left \{ 8,9 \right \} .
Doplnění na "úplný čverec" a následný rozklad na součin (pokud mnohočlen s proměnnou x \in \mathbb{M} lze rozložit na součin).
Úloha
Řešte rovnici x^2 - 17x + 72 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R} .
Řešení
- \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
- x^2 - 17x + 72 = 0
  x^2 - 17x + {(-\frac{17}{2})}^2 - {(-\frac{17}{2})}^2 +72 =0
  {(x - \frac{17}{2})}^2 + (\frac{-17^2 + 4*72}{4}) = 0
- {(x - \frac{17}{2})}^2 - \frac{1}{4} = 0
  (x - \frac{17}{2} - \frac{1}{2})(x - \frac{17}{2} + \frac{1}{2}) = 0
- Kvadratický trojčlen rozložíme na součin: (x-8)*(x-9) = 0
  (x-8)=0 \land (x-9)=0
- Množina řešení je \mathbb{K} = \left \{ 8,9 \right \} .

Při řešení složitějších kvadratických rovnic, kde kořeny nejsou například celá čísla, se pro výpočet kořenů využívají níže odvozené vzorce.

V kapitole rozklad kvadratického trojčlenu jsme pomocí úpravy "doplnění na čtverec" došli ke tvaru kvadratického trojčlenu ax^2 + bx + c = a[{(x + \frac{b}{2a})}^2 - (\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})]. Dalšími úpravami tohoto tvaru lze dojít k následující tabulce, kde výraz D = b^2 - 4ac nazýváme diskriminant kvadratické rovnice.

Vyplnění tabulky : Zobrazit

Množina, ve které rovnici řešíme	D = b^2 - 4ac	Kořeny	Počet kořenů
\mathbb{R}	D = 0	x_1=x_2 = -\frac{b}{2a}	jeden dvojnásobný kořen
	D > 0	x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}	dva různé kořeny
	D < 0	\emptyset	žádný kořen
\mathbb{C}	D \ge 0	x_{1,2} stejné jako v \mathbb{R}	x_{1,2} stejné jako v \mathbb{R}
	D < 0	x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a}	dva různé komplexní kořeny

Úlohy

Řešte rovnici x^2 - 17x + 72 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R} .
Řešení
- \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
- x^2 - 17x + 72 = 0
  a=1, b=-17, c=72
  D = (-17)^2 - 4*1*72 = 298 - 288 = 1 > 0
- x_1 = \frac{17 + 1}{2} = 9
  x_2 = \frac{17 - 1}{2} = 8
- Množina řešení je \mathbb{K} = \left \{ 8,9 \right \} .
Řešte rovnici 3x^2 - 7x + 5 = 0 s neznámou x \in \mathbb{C} .
Řešení
- \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
- 3x^2 - 7x + 5 = 0
  a=3, b=-7, c=5
  D = (-7)^2 - 4*3*5 = 49 - 60 = -11 < 0
- x_1 = \frac{7 + \sqrt{i^2 * 11}}{6} = \frac{7 + i \sqrt{11}}{6}
  x_2 = \frac{7 - \sqrt{i^2 * 11}}{6} = \frac{7 - i \sqrt{11}}{6}
- Množina řešení je \mathbb{K} = \left \{ \frac{7 \pm i \sqrt{11}}{6} \right \} .

Grafické řešení kvadratické rovnice

Kvadratickou rovnici s neznámou x \in \mathbb{R} můžeme řešit také graficky. Máme rovnici ax^2 + bx + c = 0 , kde a \neq 0 a a, b, c jsou reálná čísla. Kvadratickou rovnici lze řešit graficky dvěma způsoby.

1. způsob řešení

Řešení spočívá v hledání průsečíků paraboly a přímky. Budeme vycházet z toho, že grafem funkce f: y = ax^2 je parabola s vrcholem v počátku [0,0]. V následujícím appletu můžete pomocí změny posuvníků pozorovat, jak vypadá graf funkce f : y = ax^2 při změně parametru a.

Postup při grafickém řešení kvadratické rovnice:

Rovnici upravíme na tvar ax^2 = -bx - c, kde a, b, c \in \mathbb{R} a x \in \mathbb{R} je neznámá.
Levou stranu rovnice chápeme jako předpis funkce f : y = ax^2 a pravou stranu jako předpis funkce g : y = -bx - c.
Sestojíme grafy funkcí f, g. Grafem funkce f: y = ax^2 je parabola s vrcholem v počátku [0,0] a grafem funkce g je přímka, jak jsme si řekli již u lineárních rovnic. Přímka prochází body [0,-c], [-\frac{c}{b},0].
Řešením kvadratické rovnice jsou x-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí f, g. Pro názornost se podívejme na následující applet, kde se opět dají měnit koeficienty v předpisu funkcí pomocí změny posuvníků.

Množinou všech řešení kvadratické rovnice je:
         -   \mathbb{K} = \left \{ x_1, x_2 \right \}, kde x_1, x_2 jsou x-ové souřadnice průsečíků přímky a paraboly,
            pokud přímka protíná parabolu ve dvou bodech.
         -   \mathbb{K} = \left \{ x_1 = x_2 \right \}, kde x_1=x_2 je x-ová souřadnice průsečíku
            přímky a paraboly, pokud je přímka tečnou paraboly.
         -   \mathbb{K} = \emptyset, pokud přímka nemá s parabolou společný bod.

Úloha
Řešte rovnici x^2 - 2x - 15 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R} graficky.

Řešení

Upravíme rovnici na tvar x^2 = 2x + 15 a sestrojíme grafy funkcí.
f: y = x^2, parabola s vrcholem v počátku
g: y = 2x + 15, přímka procházející body [0,15], [-\frac{15}{2}, 0 ]
Určíme společné body přímky a paraboly, pokud existují.
Množina řešení je \mathbb{K} = \left \{ -3,5 \right \} .

2. způsob řešení

Tento způsob grafického řešení kvadratické rovnice je založen na hledání průsečíků paraboly a osy x. Graf funkce f ve tvaru f: y = ax^2 + bx + c má také tvar paraboly. Tato parabola ale nemá v obecném případě vrchol v počátku.

Doplněním kvadratického trojčlenu na levé straně rovnice na čtverec zjistíme souřadnice vrcholu paraboly: Zobrazit

V = [-\frac{b}{2a}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a}]

V následujícím appletu můžete pomocí změny posuvníků pozorovat, jak vypadá graf funkce f : y = ax^2 + bx + c při změně parametrů a, b, c.

Postup při grafickém řešení kvadratické rovnice ve tvaru ax^2 + bx + c = 0, kde a, b, c \in \mathbb{R} a x \in \mathbb{R} je neznámá :

Levou stranu rovnice chápeme jako předpis funkce f : y = ax^2 + bx + c a pravou stranu jako g : y = 0.
Sestojíme grafy funkcí f, g, kde grafem funkce f: y = ax^2 + bx + c je parabola s vrcholem V = [-\frac{b}{2a}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a}] a grafem funkce g je přímka splývající s osou x.
Řešením kvadratické rovnice jsou x-ové souřadnice průsečíků grafu funkce f s osou x. Pro názornost se podívejme na následující applet, kde se opět dají měnit koeficienty v předpisu funkce pomocí změny posuvníků.

Množinou všech řešení kvadratické rovnice je:
         -   \mathbb{K} = \left \{ x_1, x_2 \right \}, kde x_1, x_2 jsou x-ové souřadnice průsečíků osy x a paraboly,
            pokud parabola protíná osu x.
         -   \mathbb{K} = \left \{ x_1 = x_2 \right \}, kde x_1=x_2 je x-ová souřadnice průsečíku
            osy x a paraboly, pokud se parabola osy x dotýká.
         -   \mathbb{K} = \emptyset, pokud parabola nemá s osou x společný bod.

Úloha
Řešte rovnici x^2 - 2x - 15 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R} graficky.

Řešení

Doplněním levé strany rovnice na čtverec zjistíme vrchol paraboly.
f: y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 15
y = {(x - 1)}^2 - 16
V = [1, -16]
Sestrojíme graf funkce f: y = x^2 - 2x - 15, tedy parabolu s vrcholem V = [1, -16].
Určíme společné body paraboly a osy x, pokud existují.
Množina řešení je \mathbb{K} = \left \{ -3,5 \right \} .

Následující tabulka znázorňuje vztah grafického řešení kvadratické rovnice a diskriminantu kvadratické rovnice. Uvažujme kvadratickou rovnici tvaru ax^2 + bx + c = 0, kde a \neq 0, a diskriminant D=b^2-4ac této rovnice.

	a > 0	a < 0	Počet kořenů
D > 0			dva různé kořeny
D = 0			jeden dvojnásobný kořen
D < 0			žádný kořen

Úloha
Určete počet reálných kořenů následujících rovnic. Využijte znalostí z předchozí tabulky.

3x^2 - 10x - 15 = 0
D={(-10)}^2-4*3*(-15)=100+180=280>0
Rovnice má právě dvě řešení.
- 10x^2 + 6x - 3 = 0
D=6^2-4*(-10)*(-3)=36-120=-84<0
Rovnice nemá řešení v množině všech reálných čísel.
x^2 - 30x + 225 = 0
D=(-30)^2-4*225=900-900=0
Rovnice má jeden dvojnásobný kořen.

Rovnice vyšších stupňů

Kvadratické rovnice

Početní řešení kvadratické rovnice

Grafické řešení kvadratické rovnice

Titulní strana

Úvod

Mnohočleny-opakování

Algebraické rovnice-opakování

Alg.rovnice n-tého stupně

Kubické rovnice

Binomické rovnice

Trinomické rovnice

Reciproké rovnice

Značení a symboly

Rejstřík

Literatura

Užitečné odkazy