Dělení mnohočlenů
Podrobnější informace ohledně počítaní s mnohočleny, a tedy i dělení mnohočlenů, naleznate na stránkách Vladimíry Pavlicové.
V této části se zaměříme na mnohočleny s jednou reálnou proměnnou.
Nejdříve si v úloze připomeneme dělení mnohočlenu jednočlenem. To znamená, že každý člen mnohočlenu vydělíme tímto jednočlenem.
Úloha
- Vydělte mnohočlen 5a^3 + 10a^2 + 25a jednočlenem 5a.
Řešení
- (5a^3 + 10a^2 + 25a) : 5a
- Nesmíme zapomenout podmínku a \neq 0, protože dělení nulou není definováno.
- Jednotlivé členy mnohočlenu vydělíme jednočlenem:
(5a^3 + 10a^2 + 25a) : 5a = (5a^3 : 5a) + (10a^2 : 5a) + (25a : 5a) = a^2 + 2a + 5
V následující části budeme používat pojmy dělenec, dělitel a podíl, které se často pletou, a tak je zopakujeme v následujícím schématu.
\overbrace{(2x^3 + x^2) }^{dělenec} : \overbrace{ x }^{dělitel} = \overbrace{ 2x^2 + x }^{podíl}
Nyní přistoupíme k dělení mnohočlenu mnohočlenem, který není jenočlen. Je důležité, aby jednotlivé sčítance mnohočlenů byly uspořádány od nejvyšší mocniny u x až po nejnižší mocninu u x. Postup si opět připomeneme v úlohách.
Úlohy
- Určete podíl (2x^7 + 3x^6 + 14x^5 + 10x^4 - 7x^3 - 32x^2 + 15x - 5) : (x^4 + 7x^2 - 3x + 1).
Řešení
- Dělení nulou není definováno, proto {x^4 + 7x^2 - 3x + 1} \neq 0.
- 1.krok: První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele:
2x^7 : x^4 = 2x^3
- 2.krok: Získaným podílem vynásobíme všechny členy dělitele:
2x^3 * (x^4 + 7x^2 - 3x + 1) = 2x^7 + 14x^5 - 6x^4 + 2x^3
- 3.krok: Vzniklý mnohočlen odečteme od dělence, čímž vznikne nový dělenec (dělitel zůstává stejný):
(2x^7 + 3x^6 + 14x^5 + 10x^4 - 7x^3 - 32x^2 + 15x - 5)-(2x^7 + 14x^5 - 6x^4 + 2x^3) =
= 3x^6 + 16x^4 - 9x^3 -32x^2 + 15x - 5
- Kroky 1. až 3. opakujeme, dokud nedojdeme k nulovému mnohočlenu, nebo k mnohočlenu, jehož stupeň je menší než stupeň dělitele:
1. 3x^6 : x^4 = 3x^2
2. 3x^2 * (x^4 + 7x^2 - 3x + 1) = 3x^6 + 21x^4 - 9x^3 + 3x^2
3. (3x^6 + 16x^4 - 9x^3 -32x^2 + 15x - 5) - (3x^6 + 21x^4 - 9x^3 + 3x^2) =
-5x^4 - 35x^2 + 15x - 5
- 1. (-5x^4) : x^4 = -5
2. (-5) * (x^4 + 7x^2 - 3x + 1) = -5x^4 - 35x^2 + 15x - 5
3. (-5x^4 - 35x^2 + 15x - 5) - (-5x^4 - 35x^2 + 15x - 5) = 0
- Předchozí postup pro přehlednost zapisujeme ve tvaru:
(2x^7+3x^6+14x^5+10x^4-7x^3-32x^2+15x-5):(x^4+7x^2-3x+1)=2x^3+3x^2-5
-(2x^7 + 14x^5-6x^4+2x^3)
----------------------------------------------------------------------------
3x^6 + 16x^4 - 9x^3 -32x^2 + 15x - 5
-(3x^6 + 21x^4 - 9x^3 + 3x^2)
----------------------------------------------------------------
-5x^4 - 35x^2 + 15x - 5
-(-5x^4 - 35x^2 + 15x - 5)
-------------------------------------------------
0
- Řešením, tj. podílem, je tedy mnohočlen 2x^3 + 3x^2 - 5.
- Určete podíl (2x^3 + 7x^2 + 8x + 7) : (x + 2).
Řešení
- (2x^3 + 7x^2 + 8x + 7) : (x + 2) = 2x^2 + 3x + 2 + \frac{3}{x + 2}, kde {x + 2} \neq 0
-(2x^3 + 4x^2)
-------------------------------------------------------------------
3x^2 + 8x + 7
-(3x^2 + 6x)
----------------------------------------------------------
2x + 7
-(2x + 4)
---------------------------------------------------
3
- Dále už nedělíme, protože jsme došli k jednočlenu, který má stupeň menší, než je stupeň dělitele.
Jednočlen 3 nazýváme zbytek a mnohočlen 2x^2 + 3x + 2 neúplným podílem.
Poznámka
V druhém příkladu vidíme, že podíl dvou mnohočlenů
nemusí být mnohočlen.
