Kubické rovnice

Definice

Nechť a, b, c, d jsou reálná čísla, kde a \neq 0. Potom rovnici ve tvaru ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 nazýváme kubickou rovnicí s neznámou x \in \mathbb{M}.

Kubickou rovnicí nazýváme každou algebraickou rovnici třetího stupně. Pokud bychom uvažovali nulový vedoucí koeficient a, snížil by se stupeň rovnice a v obecném případě bychom získali rovnici kvadratickou. Dále předpokládejme, že vedoucí koeficient je nenulový.


Speciální tvary kubické rovnice

Jestliže je absolutní člen d nulový, kubická rovnice má tvar ax^3 + bx^2 + cx = 0 .

Postup řešení: Vytkneme proměnnou x z mnohočlenu na levé straně rovnice. Tím získáme rovnici v součinovém tvaru x(ax^2 + bx + c) = 0 a jedním kořenem rovnice je číslo x_1 = 0 . Další kořeny získáme vyřešením kvadratické rovnice.

Příklad
Řešte rovnici x^3 + 4x^2 - 3x = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}.
Řešení
  • \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
  • Mnohočlen na levé straně rovnice upravíme vytknutím x.
    x(x^2 + 4x - 3) = 0
  • Díky rozkladu levé strany rovnice na součin dále řešíme dvě rovnice ve tvaru x = 0 a x^2 + 4x - 3 = 0. Z první rovnice získáme kořen x_1 = 0.
  • Druhá rovnice je kvadratická a můžeme ji řešit například pomocí vzorce pro hledání kořenů kvadratické rovnice.
    x^2 + 4x - 3 = (x + 2 - \sqrt{7})(x + 2 + \sqrt{7})
  • Množinou všech řešení je \mathbb{K} = \left \{0, - 2 \pm \sqrt{7} \right \}.


Kubická rovnice může být i tvaru ax^3 + d = 0, kde jsou koeficienty b, c nulové.

Postup řešení: Mnohočlen na levé straně rovnice rozložíme na součin pomocí vzorce tvaru a^3 \pm b^3 .

Příklad
Řešte rovnici 8x^3 + 1 = 0 s neznámou x \in \mathbb{C}.
Řešení
  • \mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
  • Levou stranu rovnice pro přehlednost upravíme na tvar 8x^3 + 1 = {(2x)}^3 + (1)^3.
  • Dále mnohočlen na levé straně rovnice rozložíme podle vzorce:
    a ^3 + b ^3 = (a + b)(a ^2 - ab + b ^2) = (a + b)(a - \frac{b}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}ib)(a - \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}ib)
  • (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)=0
  • (2x + 1)(2x - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3} }{2})(2x - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3} }{2}) = 0
  • (2x + 1)(2x - \frac{1 + i \sqrt{3} }{2})(2x - \frac{1 - i \sqrt{3} }{2}) = 0
  • Množinou řešení je \mathbb{K} = \left \{ -\frac{1}{2}, \frac{1 \pm i \sqrt{3} }{4} \right \}.

Řešení kubické rovnice

Při řešení kubické rovnice se snažíme odhadnout alespoň jeden kořen rovnice. Díky tomu lze levou stranu rovnice rozložit podle věty na součin lineárního a kvadratického mnohočlenu, kde kořeny kvadratického mnohočlenu nalezneme snadno. Tímto způsobem je řešena úloha 1 v další kapitole.

Kořen můžeme hledat pomocí vět, které jsme si uvedli v úvodu algebraických rovnic n-tého stupně. Pokud máme kubickou rovnici s celočíselnými koeficienty (s takovými rovnicemi se setkáváme nejčastěji), hledáme nejdříve celočíselný kořen, který je z množiny dělitelů absolutního členu rovnice. Pokud žádný z celočíselných kořenů neřeší rovnici, zkusíme hledat kořeny racionální. V případě, že ani racionální kořen není řešením rovnice, má rovnice zřejmě iracionální či komplexní kořeny. Takové kořeny bychom museli vypočítat pomocí Cardanových vzorců .

Zajímavý postup řešení kubické rovnice je uveden v následujícím příkladě.

Příklad
Řešte rovnici x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = 0 s neznámou x \in \mathbb{R}.
Řešení
  • \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
  • Hledáme kořen a rovnici chceme upravit na tvar
    x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = (x - a)(x^2 + px + q), kde a je kořen a p, q \in \mathbb{R}.
  • Po roznásobení pravé strany rovnice získáme:
    x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = x^3 + (p - a)x^2 + (q - ap)x -aq
  • Porovnáme koeficienty u stejné mocniny x a tím dostaneme soustavu tří rovnic o třech neznámých p, q, a, kterou vyřešíme.
  • 3=p-a
    2=q-ap
    6=-aq
    Řešením je a=-3, p=0, q=2.
    Řešení soustavy dosadíme do rovnice
    x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = (x - a)(x^2 + px + q) = (x + 3)(x^2 + 2)
  • Kořenem rovnice je pouze číslo x_1=-3, protože kvadratická rovnice x^2 + 2=0 nemá v \mathbb{R} řešení.
  • \mathbb{K} = \left \{ -3 \right \}