Rovnice vyšších stupňů

• \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
• Levou stranu rovnice upravíme na součin kořenových činitelů postupným vytýkáním.
• x(x^2 - 1) + 3(x^2-1) = 0
• (x^2 - 1)(x + 3) = 0
• Použijeme známý vzorec: (x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0
• \mathbb{K} = \left \{ \pm 1, -3 \right \}

• \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
• Rovnice má celočíselné koeficienty, proto nejdříve hledáme celočíselný kořen.
• Množina dělitelů absolutního členu a_0 = 11 je \left \{ \pm 1, \pm 11 \right \}.
• Postupným dosazením čísel z množiny dělitelů čísla a_0 do rovnice nalezneme vyhovující kořen y_1 = -1.
• Protože již známe jeden kořen rovnice y_1 = -1, lze levou stranu rovnice (např. pomocí vydělení mnohočlenu lineárním dvojčlenem (y+1) ) rozložit na součin podle věty:
  (y + 1)(y^2 + 8y + 11) = 0
• Dále řešíme kvadratickou rovnici, jak nám radí věta, a hledáme kořeny kvadratického trojčlenu například pomocí vzorce pro řešení kvadratické rovnice:
  (y^2 + 8y + 11) = (y + 4 - \sqrt{5} )(y + 4 + \sqrt{5} )
• \mathbb{K} = \left \{ -1, - 4 + \sqrt{5}, - 4 - \sqrt{5} \right \}

• \mathbb{M} = \mathbb{R}, \mathbb{D} = \mathbb{R}
• Rovnice má celočíselné koeficienty, proto nejdříve hledáme celočíselný kořen.
• Množina dělitelů absolutního členu a_0 = 9 je \left \{ \pm 1, \pm 3, \pm 9 \right \}.
• Po dosazení všech čísel z množiny dělitelů čísla a_0 zjistíme, že žádné z čísel nevyhovuje rovnici.
• Hledáme tedy racionální kořeny.
• R = \left \{ \pm 1, \pm 3, \pm 9 \right \}, kde r \in R
  S = \left \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \right \}, kde s \in S
• Množina čísel, které bychom museli ověřit je poměrně velká, a tak navíc použijeme tvrzení, které množinu zredukuje. Není třeba hledat všechna čísla, která splňují (r+s)/L(-1)=24 a zároveň (r-s)/L(1)=10. Každé číslo \frac{r}{s} \in \frac{R}{S} splňující tvrzení hned ověřujeme, dokud nenarazíme na kořen rovnice. V optimálním případě nebudeme muset zkoumat všechna čísla, která mohou být hledaným kořenem.
• Například číslo z_1=\frac{1}{2} je řešením rovnice. Levou stranu rovnice vydělíme dvojčlenem (2z - 1), který je ekvivalentní s (z - \frac{1}{2}).
• Získáme (2z - 1)(10z^2 + 9z - 9)=0, kde kořeny kvadratického trojčlenu jsou čísla z_2 = \frac{3}{5} a z_3 = -\frac{3}{2}.
• \mathbb{K} = \left \{ \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, -\frac{3}{2} \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{C}, \mathbb{D} = \mathbb{C}
x^2(2x-3)+5(2x-3) = (2x-3)(x^2+5) = (2x-3)(x-i\sqrt{5})(x+i\sqrt{5})
\mathbb{K} = \left \{ \frac{3}{2}, \pm i \sqrt{5} \right \}

\mathbb{M} = \mathbb{Q}, \mathbb{D} = \mathbb{Q}
Najdeme racionální kořen, rozložíme kubický mnohočlen na součin podle věty a dále řešíme kvadratickou rovnici.
(2z-1)(z^2+6z+12)=0
\mathbb{K} = \left \{ \frac{1}{2} \right \}