V této poslední kapitole uvedeme přehled základních vztahů mezi jednotlivými goniometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a kotangens a také připojíme jejich jednoduchý důkaz nebo alespoň poznámku, jak by se daný vztah odvodil.
Věta. Pro každé platí:
Vezměme jednotkovou kružnici se středem v
počátku soustavy souřadnic, a vyznačme úhel o velikosti .
Bod, ve kterém protla polopřímka určující velikost úhlu
označíme
. Tento bod má souřadnice
, kde souřadnice
je funkční hodnota
a
souřadnice
je funkční hodnota
.
Vyznačíme ještě bod
na ose
.
Z pravoúhlého trojúhelníka
vyjádříme pomocí
Pythagorovy věty tuto rovnost
.
Odtud již plyne požadovaný vztah
.
Věta. Pro každé,
platí:
Funkce tangens a kotangens vyjádříme pomocí jejich definičních
vztahů z funkcí sinus a kosinus .
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
platí:
Vezměme dva jednotkové vektory .
Podle jejich složek je zřejmé, že vektor
svírá
s osou
úhel
a vektor
svírá s osou
úhel
. Vektory
svírají úhel
. Jestliže
si celou situaci nakreslíme, tak zjistíme, že platí
,
tedy
.
Z kapitoly
Goniometrické funkce ostrého úhlu
víme, že platí následující vztah , tedy
v našem případě
.
Úhel se vypočítá pomocí skalárního součinu
,
.
Vezmeme-li obě vyjádření
,
, vyjde nám požadovaná rovnost
.
Ostatní vzorce bychom dokázali obdobně.
Dokážeme pouze první vztah, ostatní lze dokázat obdobně
.
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
Tento vzorec snadno odvodíme ze součtového vzorce,
jestliže vezmeme součet ().
Tedy
.
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
I tento vzorec odvodíme ze součtového vzorce, jestliže
vezmeme součet ().
Tedy
.
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
Nejprve vyjádříme funkci
jako součet polovičních úhlů, poté použijeme součtový vzorce
.
Vezmeme nyní první a poslední výraz a vyjádříme druhou mocninu sinu polovičního úhlu
.
Odtud po odmocnění získáme požadovaný vztah
.
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
Postupujeme obdobně jako v důkazu předchozího vzorce. Vyjádříme funkci
jako součet polovičních úhlů, poté použijeme součtový vzorce
,
.
Tentokrát ovšem z prvního a posledního výrazu vyjádříme druhou mocninu kosinu polovičního úhlu
.
Nakonec celý vztah odmocníme
.
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
platí:
V důkazu těchto vzorců využijeme součtových vzorců a také toho,
že si takto šikovně rozepíšeme argumenty ,
.
Ukážeme pouze důkaz prvního vztahu, přičemž ostatní dokážeme obdobně.
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
,
,
,
platí:
Využijeme součtových vzorců pro sinus a kosinus a dále upravujeme
.
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
kde
a
platí:
Stejně jako v předchozím důkazu využijeme součtových
vzorců pro sinus a kosinus
.
Věta. Pro každé reálné číslo ,
,
kde
, platí:
Funkci tangens vyjádříme dle definice pomocí funkcí sinus a kosinus
a dále využijeme vzorce pro dvojnásobné úhly těchto funkcí
Věta. Pro každé reálné číslo ,
kde
platí:
Tentokrát funkce sinus a kosinus vyjádříme
pomocí vzorců pro poloviční úhel .
Věta. Pro každé reálné číslo ,
kde
platí:
Tento vzorec lze dokázat pouze pomocí definice
funkce tangens, tj. podílem funkcí sinus a kosinus a jednoduché úpravy
Věta. Pro každé reálné číslo ,
platí:
Obdobně tento vzorec dokážeme pomocí definice
funkce kotangens, tj. podílem funkcí kosinus a sinus
3.
Upravte výraz pomocí součtových vzorců .
4.
Upravte výraz a stanovte podmínky.
5.
Upravte výraz a stanovte podmínky .
6.
Upravte výraz a stanovte podmínky .