V této poslední kapitole uvedeme přehled základních vztahů mezi jednotlivými goniometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a kotangens a také připojíme jejich jednoduchý důkaz nebo alespoň poznámku, jak by se daný vztah odvodil.
Věta. Pro každé platí:
Vezměme jednotkovou kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic, a vyznačme úhel o velikosti . Bod, ve kterém protla polopřímka určující velikost úhlu označíme . Tento bod má souřadnice , kde souřadnice je funkční hodnota a souřadnice je funkční hodnota . Vyznačíme ještě bod na ose . Z pravoúhlého trojúhelníka vyjádříme pomocí Pythagorovy věty tuto rovnost . Odtud již plyne požadovaný vztah .
Věta. Pro každé, platí:
Funkce tangens a kotangens vyjádříme pomocí jejich definičních vztahů z funkcí sinus a kosinus .
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
platí:
Vezměme dva jednotkové vektory .
Podle jejich složek je zřejmé, že vektor svírá
s osou úhel
a vektor svírá s osou
úhel
. Vektory
svírají úhel . Jestliže
si celou situaci nakreslíme, tak zjistíme, že platí ,
tedy .
Z kapitoly
Goniometrické funkce ostrého úhlu
víme, že platí následující vztah , tedy
v našem případě .
Úhel se vypočítá pomocí skalárního součinu
,
.
Vezmeme-li obě vyjádření
,
, vyjde nám požadovaná rovnost
.
Ostatní vzorce bychom dokázali obdobně.
Dokážeme pouze první vztah, ostatní lze dokázat obdobně
.
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
Tento vzorec snadno odvodíme ze součtového vzorce, jestliže vezmeme součet (). Tedy .
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
I tento vzorec odvodíme ze součtového vzorce, jestliže vezmeme součet (). Tedy .
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
Nejprve vyjádříme funkci
jako součet polovičních úhlů, poté použijeme součtový vzorce
.
Vezmeme nyní první a poslední výraz a vyjádříme druhou mocninu sinu polovičního úhlu
.
Odtud po odmocnění získáme požadovaný vztah .
Věta. Pro každé reálné číslo platí:
Postupujeme obdobně jako v důkazu předchozího vzorce. Vyjádříme funkci
jako součet polovičních úhlů, poté použijeme součtový vzorce ,
.
Tentokrát ovšem z prvního a posledního výrazu vyjádříme druhou mocninu kosinu polovičního úhlu
.
Nakonec celý vztah odmocníme .
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
platí:
V důkazu těchto vzorců využijeme součtových vzorců a také toho,
že si takto šikovně rozepíšeme argumenty ,
.
Ukážeme pouze důkaz prvního vztahu, přičemž ostatní dokážeme obdobně.
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
,
,
,
platí:
Využijeme součtových vzorců pro sinus a kosinus a dále upravujeme
.
Věta. Pro každá dvě reálná čísla ,
kde a
platí:
Stejně jako v předchozím důkazu využijeme součtových vzorců pro sinus a kosinus .
Věta. Pro každé reálné číslo , , kde , platí:
Funkci tangens vyjádříme dle definice pomocí funkcí sinus a kosinus
a dále využijeme vzorce pro dvojnásobné úhly těchto funkcí
Věta. Pro každé reálné číslo , kde platí:
Tentokrát funkce sinus a kosinus vyjádříme pomocí vzorců pro poloviční úhel .
Věta. Pro každé reálné číslo , kde platí:
Tento vzorec lze dokázat pouze pomocí definice funkce tangens, tj. podílem funkcí sinus a kosinus a jednoduché úpravy
Věta. Pro každé reálné číslo , platí:
Obdobně tento vzorec dokážeme pomocí definice funkce kotangens, tj. podílem funkcí kosinus a sinus
3. Upravte výraz pomocí součtových vzorců .
4. Upravte výraz a stanovte podmínky.
5. Upravte výraz a stanovte podmínky .
6. Upravte výraz a stanovte podmínky .